äußere Algebra, bezeichnet als Λ(V) oder als Alt(V), ist die Faktoralgebra der Tensoralgebra von V nach dem zweiseitigen Ideal J, erzeugt von den Elementen x ⊗ x, ∀x ∈ V.

Ist die Charakteristik des zugrundeliegenden Körpers ungleich 2, stimmt das Ideal J mit dem Ideal erzeugt von \begin{eqnarray}x\otimes y+y\otimes x, \,\,& \forall x,y\in V\end{eqnarray}

überein. Für x ⊗ y mod J setzt man x ∧ y. Es gilt x ∧ y = −y ∧ x.

Dieses Element wird das äußere Produkt der Vektoren x und y genannt. Die alternierende Algebra ist eine graduierte Algebra \begin{eqnarray}{\rm{\Lambda }}(V)=\mathop{\oplus }\limits_{k\ge 0}{{\rm{\Lambda }}}^{k}(V)\end{eqnarray}

mit der Graduierung von der Tensoralgebra T(V) herkommend. Ist dim V = n, dann gilt Λ ^k(V) = 0 für k > n und dim Λ(V) = 2 ⁿ.

Die äußere Algebra heißt auch Graßmann-Algebra.