Lexikon der Mathematik: analytische Garbe
Garbe von n𝒪-Moduln.
Ist ζ 0 ∈ ℂ n ein Punkt, so versteht man unter n𝒪ζ 0 = (Hn)ζ 0 die ℂ-Algebra der konvergenten Potenzreihen in ζ 0. Ein beliebiges Element von n𝒪ζ 0 hat die Gestalt
Die disjunkte Vereinigung
aller dieser Algebren ist eine Menge über dem ℂ n, versehen mit einer natürlichen Projektion π : n𝒪 → ℂ n, die eine Potenzreihe fζ jeweils auf den Entwicklungspunkt ζ abbildet. Es gibt eine natürliche Topologie auf n𝒪, die π zu einer stetigen Abbildung macht und auf jedem „Halm“ n𝒪 ζ die diskrete Topologie induziert: Ist f ζ 0 ∈ n 𝒪, so gibt es eine offene Umgebung U(ζ 0) ⊂ ℂ n und eine holomorphe Funktion f auf U, so daß die Reihe f ζ 0 in U gleichmäßig gegen f konvergiert. Die Funktion f läßt sich aber wiederum in jedem Punkt ζ ∈ U in eine konvergente Potenzreihe fζ entwickeln. f induziert daher eine Abbildung s : U → n𝒪 mit den folgenden Eigenschaften:
Alle so konstruierten Mengen s (U) bilden in n𝒪 ein System von Umgebungen von f ζ 0.
Versieht man n𝒪 mit der dadurch induzierten Topologie, so nennt man den topologischen Raum n𝒪 die Garbe der konvergenten Potenzreihen.
Die ℂ-Algebren n𝒪 ζ = π −1 (ζ) nennt man die Halme der Garbe. Man kann zeigen, daß π lokal topologisch ist, und daß die algebraischen Operationen in n𝒪 stetig sind. Eine analytische Garbe über einem Bereich D ⊂ ℂ n ist eine Garbe von n𝒪-Moduln über D.
Schreiben Sie uns!