der translationsinvariante Operator B_r, r ∈ ℝ, auf dem Vektorraum ℝ[x] der Polynome, definiert durch \begin{eqnarray}p(x)\to \displaystyle \underset{x}{\overset{x+r}{\int }}p(t)dt.\end{eqnarray}

Der Bernoulli-Operator B₁ wird auch mit J bezeichnet. Für die Standardbasis {xⁿ, n ∈ ℕ₀ } ergibt sich dann, daß \begin{eqnarray}{J({x}^{n})|}_{x=0}=\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{n}dt=\frac{1}{n+1}\end{eqnarray}und \begin{eqnarray}J=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{{{\rm{D}}}^{k}}{(k+1)!}=\frac{{e}^{{\rm{D}}}-I}{{\rm{D}}}=\frac{{\rm{\Delta }}}{{\rm{D}}},\end{eqnarray}wobei I der Identitätsoperator, D der Standardoperator und Δ der Vorwärts-Differenzenoperator ist.

Bezeichnet man die Translation um r ∈ ℝ mit E^r, so ist \begin{eqnarray}{B}_{r}=\frac{{E}^{r}-I}{{\rm{\Delta }}}J.\end{eqnarray}