zahlentheoretische Vermutung in Zusammenhang mit der Eulerschen φ-Funktion.

Carmichael stellte 1907 die Übungsaufgabe, folgende Aussage über die Eulersche φ-Funktion zu beweisen:

Ist n eine natürliche Zahl, so gibt es ein m ≠ n mit

\begin{eqnarray}\phi (n)=\phi (m).\end{eqnarray}

1922 sellte Carmichael fest, daß seine eigene Lösung der Aufgabe fehlerhaft war. Heute ist diese „Übungsaufgabe“ als Carmichaelsche Vermutung bekannt.

Man kann die Carmichaelsche Vermutung auch so formulieren: Gibt es eine Zahl w, die von der Eulerschen φ-Funktion genau einmal angenommen wird? Eine wiederum andere Formulierung ist: Gibt es eine Zahl w mit Eulerscher Vielfachheit V_φ(w) = 1?

Carmichael konnte 1922 zeigen, daß für eine solche Zahl w > 10³⁷ gilt. Diese Abschätzung wurde immer wieder verbessert: 1947 zeigte Klee w > 10⁴⁰⁰, 1982 bewiesen Masai und Valette \(w\gt {10}^{{10}^{4}}\), 1994 zeigten Schlafly und Wagon mit großem Rechenaufwand \(w\gt {10}^{{10}^{7}}\), und schließlich publizierte Ford 1998 einen Beweis für die Abschätzung \(w\gt {10}^{{10}^{10}}\).

Ford bewies auch, daß die Carmichaelsche Vermutung zu folgender Aussage äquivalent ist:

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\quad{\rm{\inf }}}\limits_{x\to \infty }\frac{{W}_{1}(x)}{W(x)}=0,\end{eqnarray}