Aussagen über den Differentialoperator, wie er etwa im Sturm-Liou-villeschen Randwertproblem auftaucht.

Seien n ∈ ℕ, r_k, s_k ∈ ℕ₀, I ⊂ ℝ ein Intervall und a_k : I → ℝ sowohl r_k-mal als auch s_k-mal differenzierbar für alle k ∈ {0,…, n}. Für den Differentialoperator L, definiert durch

\begin{eqnarray}Ly:=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\left[{a}_{k}(x){y}^{({r}_{k})}\right]}^{({s}_{k})},\end{eqnarray}

sowie für \(\mathop{\max }\limits_{k\in \{0,\ldots n\}}\{({r}_{k}+{s}_{k})\}\)-mal differenzierbare Funktionen u, v ergibt sich durch partielle Integration die Dirichletsche Formel

\begin{eqnarray}\displaystyle \int v\,Lu\,dx=\displaystyle \int \displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1){a}_{k}(x){u}^{({r}_{k})}{v}^{({s}_{k})}dx+R[u, v].\end{eqnarray}

Dabei ist

\begin{eqnarray}R[u,\,v]:=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\displaystyle \sum _{p,q\\ p+q={s}_{k}-1}{(-1)}^{p}{({a}_{k}{u}^{({r}_{k})})}^{(q)}{v}^{(p)}.\end{eqnarray}

Einen entsprechenden Ausdruck erhält man auch für ∫ uL*vdx, wobei L* der zu L adjungierte Operator ist.