ein Element g einer Gruppe (G, +), das nicht von endlicher Ordnung ist.

In der additiv geschriebenen Gruppe G definiert man zunächst eine Multiplikation von g ∈ G mit einer natürlichen Zahl n induktiv wie folgt:

g · 1 = g, sowie \begin{eqnarray}g\cdot (n+1)=g\cdot n+g.\end{eqnarray}

Das Element g hat endliche Ordnung genau dann, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, so daß g · n = g gilt.

Beispiele für Elemente unendlicher Ordnung: In der ebenen Drehgruppe sind genau diejenigen Elemente von unendlicher Ordnung, die eine Drehung um ein irrationales Vielfaches von 2π beschreiben. In der Translationsgruppe der Ebene dagegen gibt es nur ein einziges Element endlicher Ordnung, nämlich die identische Transformation.