Cramer-Lund-berg-Formel, Beziehung aus der Risikotheorie zur Bestimmung von Ruinwahrscheinlichkeiten.

Grundlagen der Risikotheorie gehen auf Filip Lundberg (1903) zurück: Das Modell der aggregierten Gesamtschäden beschreibt das Risiko einer Versicherung als einen stochastischen Prozeß. Die Schadenfall-Anzahl N(t) im Zeitintervall [0, t] wird durch einen homogenen Poisson-Prozess mit

\begin{eqnarray}\begin{equation} P(N(t)=k)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{k}}{k!} \end{equation}\end{eqnarray}

und die Schadenhöhen mit unabhängigen identisch verteilten Risiken Y_i mit Dichte q(y) modelliert.

Sei \(S(t)=\sum^{N(t)}_{i=1}Y_{i}\) der Gesamtschadenprozess, μ der Erwartungswert von Y_i und

\begin{eqnarray}\begin{equation} \hat{q}(r)=\int_{0}^{\infty}e^{rx}q(x)dx \end{equation}\end{eqnarray}

die momenterzeugende Funktion von Y_i. Das Cramer-Lundberg-Modell untersucht den Risikoprozess

\begin{eqnarray}\begin{equation} U(t)=U_{0}+\beta t-S(t) \end{equation}\end{eqnarray}

mit der Anfangsreserve U₀ und Prämie β. Für β > λμ existiert eine eindeutige positive Lösung r der Gleichung \(\hat{q}(r)=\beta/\lambda \) der Anpassungskoeffizient (Lundberg-Exponent). Dann gilt:

Die Ruinwahrscheinlichkeit \begin{eqnarray}{\psi }_{\beta }({U}_{0})=P(\exists t\gt 0:U(t)\lt 0)\end{eqnarray}ist beschränkt durch \begin{eqnarray}{\psi }_{\beta }({U}_{0})\le {e}^{r{U}_{0}}\lt 1\end{eqnarray}.