Lexikon der Mathematik: Geodätische
geodätische Kurve, geodätische Linie, Kurve γ (t) in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M, deren Tangentialvektor parallel übertragen wird.
Diese Definition gilt allgemein in Mannigfaltigkeiten M mit linearem Zusammenhang ∇.
Sind \({{\rm{\Gamma }}}_{ij}^{k}\) die Christoffelsymbole von ∇ in bezug auf ein lokales Koordinatensystem (x1, …, xn) auf einer offenen Teilmenge U ⊂ M, die γ enthält, und ist γ(t) = (x1(t),…, xn(t)) eine Parameterdarstellung von γ in diesen Koordinaten, so erfüllen die Funktionen xi(t) das Differentialgleichungssystem
Daher gibt es zu jedem Punkt p ∈ U und jedem Anfangsvektor t ∈ Tp(M) eine eindeutig bestimmte, auf einer Umgebung von 0 ∈ ℝ definierte Geodätische γ(t) mit γ(0) = p und \(\mathop{\gamma }\limits^{.}(0)\space =\space {\mathfrak{t}}\). Überdies ist der Parameter t der Lösungskurven γ(t) bis auf affine Transformationen der Gestalt \(\tilde{t}\space =\space mt\space +n\) eindeutig bestimmt.
Ist M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Metrik g und ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang von M, so ist die Länge \(\sqrt{g(\mathop{\gamma }\limits^{.}(t),\space \mathop{\gamma }\limits^{.}(t))}\) des Tangentialvektors konstant. Somit ist jede Lösungskurve γ des Systems (1) durch die Bogenlänge parametrisiert, wenn der Anfangsvektor t ein Einheitsvektor ist.
Ist überdies die Metrik g positiv definit, so sind die Geodätischen von M die glatten Kurven γ(t), die lokal Verbindungskurven kürzester Länge sind. Das bedeutet, daß, wenn γ etwa auf dem Intervall I = [a, b] ⊂ ℝ definiert ist, es für alle t1 ∈ I eine Zahl ϵ > 0 derart gibt, daß für alle t2 ∈ I mit |t2 − t1| < ϵ der zwischen t1 und t2 gelegene Abschnitt von γ(t) die kürzeste Verbindungskurve der Punkte γ(t1) und γ(t2) ist. Geodätische sind in diesem Fall die Extremalen des Variationsproblems
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