Gruppe von Sätzen über die Fortsetzbarkeit linearer Funktionale.

Ausgangspunkt der Hahn-Banach-Sätze ist die Frage, ob ein gegebener topologischer Vektorraum V hinreichend viele lineare stetige Abbildungen in seinen Grundkörper ℝ oder ℂ hat. Sie untersuchen also beispielsweise die Frage, wann der Dualraum V′ ≠ {0} ist, oder ob es zu jedem x ∈ V ein lineares Funktional f gibt mit f(x) ≠ 0. Dabei werden die Begriffe der lokalen Konvexität und des sublinearen Funktionals eine Rolle spielen. Ist V ein beliebiger reeller oder komplexer Vektorraum, so heißt eine Abbildung p : V → ℝ ein sublineares Funktional, falls gilt:

1. (i) p(αx) = αp(x) für alle α ≥ 0, x ∈ V;
2. (ii) p(x+y) ≤ p(x) + p(y) für alle x, y ∈ V.

Gilt sogar

1. (i) p(x) ≥ 0 für alle x ∈ V,
2. (ii) p(αx) = |α|p(x) für alle α ∈ ℝ bzw. α ∈ ℂ, x ∈ V,
3. (iii) p(x+y) ≤ p(x) + p(y) für alle x, y ∈ V, so spricht man von einer Halbnorm p. Offenbar ist jede Norm eine Halbnorm und jede Halbnorm ein sublineares Funktional.

Nun kann man einen ersten Fortsetzungssatz vom Hahn-Banach-Typ formulieren.

Es seien V ein reeller Vektorraum, U ⊆ V ein Untervektorraum von V, p : V → ℝ ein sublineares Funktional und f : U → ℝ linear.

Gilt f(x) ≤ p(x) für alle x ∈ U, so gibt es zu jedem x₀∈ V\M eine lineare Abbildung g : U + ∈ · x₀ → ℝ mit den Eigenschaften:

1. (i) Es seien V ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum, U ⊆ V ein abgeschlossener Unterraum und x₀ ∈ V\U. Dann gibt es ein f ∈ V′ mit f(x₀) = {0} und f(x₀) = 1.
2. (ii) Es seien V ein separierter lokalkonvexer topologischer Vektorraum und x₀ ∈ E\{0}. <?PageNum _356Dann gibt es ein f ∈ V′ mit f(x₀) = 1.
3. (iii) Es seien V ≠ {0} ein normierter Vektorraum und x₀ ∈ V. Dann gibt es ein f ∈ V′ mit ||f|| = 1 und f(x₀) = ||x₀||.

Weitere Folgerungen aus den Hahn-Banach-Sätzen sind die Tatsache, daß jeder normierte Raum ein dichter Unterraum eines Banachraums ist, sowie die Aussage, daß ein normierter Vektorraum V, dessen Dual V′ separabel ist, auch selbst separabel ist.