ist eine Lie-Algebra \({\mathfrak{g}}\) mit eindimensionalem Zentrum \({\mathfrak{z}}\) derart, daß \({\mathfrak{g}},{\mathfrak{g}}]={\mathfrak{z}}\) gilt. Da per Definition \({\mathfrak{z}},{\mathfrak{g}}]=0\) ist, handelt es sich hierbei immer um eine nilpotente Lie-Algebra.

Ein Beispiel wird durch die 3-dimensionale Lie-Algebra \({\mathfrak{g}}\) mit Basis {c, a₁, a₋₁} und Strukturgleichungen \begin{eqnarray}[{a}_{1},{a}_{-1}]=c,[c,{\alpha }_{1}]=[c,{\alpha }_{-1}]=0\end{eqnarray} gegeben. Das Element c ist das Basiselement des Zentrums \({\mathfrak{z}}\) und heißt zentrales Element. Diese Algebra ist von besonderer Bedeutung in der Quantenmechanik, da sie die durch die eindimensionalen Orts- und Impulsoperatoren gegebene Kommutatoralgebra beschreibt. Sie besitzt eine Darstellung auf dem Raum der Polynome in einer Variablen durch die Vorgabe (p(x) sei ein Polynom) \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}c.p(x):=p(x),\\ {a}_{1}.p(x):=\frac{\partial p}{\partial x}(x),{a}_{-1}\cdot p(x):=x\cdot p(x)\end{array}\end{eqnarray} Dieses Beispiel kann erweitert werden auf beliebige (einschließlich abzählbar-unendlicher) Dimensionen. Die unendlichdimensionale Heisenberg-Algebra wird auch Oszillatoralgebra genannt. Sie wird erzeugt von der Basis \(\{{a}_{n},{a}_{-n}|n\in {\mathbb{N}}\}\mathop{\cup }\limits^{}(c)\) mit den Relationen \begin{eqnarray}[{a}_{m},{a}_{n}]=m{\delta }_{m}^{-n}\cdot c,[c,{a}_{n}]=0\end{eqnarray} für alle m, n ∈ ℕ. Manchmal nimmt man ein weiteres zentrales Element a₀ (und eventuell auch noch eine Derivation) hinzu. Diese Algebra besitzt die bosonische Fockraumdarstellung. Sie wird auf dem Raum \(F={\mathbb{C}}[{x}_{1},{x}_{2},\ldots ]\) der komplexen Polynome in unendlich vielen Variablen x₁, x₂, … (dies sind endliche Summen von Monomen, die jeweils nur endlich viele der unendlich vielen Variablen enthalten) gegeben. Die Operation ist für \((\mu, h)\in {{\mathbb{R}}}^{2}\) definiert als \begin{eqnarray}{a}_{0}\hat{=}\mu \cdot id,c\hat{=}h\cdot id,{a}_{n}\hat{=}\frac{\partial }{\partial {x}_{n}},{a}_{-n}\hat{=}hn{x}_{n}\cdot, n\in {\mathbb{N}}.\end{eqnarray}