Abbildung zwischen Prägarben über demselben topologischen Raum, die es ermöglicht, diese zu vergleichen und insbesondere einen Homomorphismus in den Halmen induziert.

Seien \({\mathscr{F}}\) und \({\mathscr{G}}\) Prägarben (abelscher Gruppen) über einem topologischen Raum X. Unter einem Homomorphismus \(h: {\mathcal F} \to {\mathscr{G}}\) von \({\mathscr{F}}\) nach \({\mathscr{G}}\) versteht man eine Kollektion \begin{eqnarray}{h}_{U}:{\mathscr{F}}(U)\to {\mathscr{G}}(U),\space \space (U\subseteq X\space \text{offen})\end{eqnarray} von Homomorphismen, welche mit den Einschränkungen verträglich sind, d. h. für die gilt \begin{eqnarray}{\varrho }_{V}^{U}\circ {h}_{U}={h}_{V}\circ {\varrho }_{V}^{U}\space \space (V\subseteq U\subseteq X\space \text{offen}).\end{eqnarray}

Sind \({\mathscr{A}}\) und \({\mathscr{B}}\) Prägarben von Ringen (resp. von ℂ-Algebren), so verlangt man von einem Homomorphismus \(h:{\mathscr{A}}\to {\mathcal B} \), daß \begin{eqnarray}{h}_{U}:{\mathscr{A}}(U)\to {\mathscr{B}}(U)\end{eqnarray} jeweils ein Homomorphismus von Ringen (resp.von ℂ-Algebren) ist. Sind \({\mathscr{F}}\) und \({\mathscr{G}}\) Prägarben von \({\mathscr{A}}\)-Moduln, so verlangt man von einem Homomorphismus \(h: {\mathcal F} \to {\mathscr{G}}\) entsprechend, daß \begin{eqnarray}{h}_{U}:{\mathscr{F}}(U)\to {\mathscr{G}}(U)\end{eqnarray} jeweils ein Homomorphismus von \({\mathscr{A}}\text{(}U\text{)}\)-Moduln ist.

Einen Homomorphismus \(h: {\mathcal F} \to {\mathscr{G}}\) von Prägarben nennt man einen Isomorphismus, wenn es einen zu h inversen Homomorphismus l gibt, d. h. einen Homomorphismus \(l:{\mathscr{G}}\to {\mathcal F} \) mit \(l\circ h\space =\space i{d}_{ {\mathcal F} }\), \(h\circ l\space =\space i{d}_{{\mathscr{G}}}\). l ist dann durch h eindeutig bestimmt, selbst wieder ein Isomorphismus und heißt der zu h inverse Isomorphismus h⁻¹.

Als Anwendung ergibt sich etwa die folgende Aussage:

Ist \({\mathscr{F}}\)eine Garbe und ist \( {\mathcal F} \space \cong \space {\mathscr{G}}\), so ist auch \({\mathscr{G}}\)eine Garbe.

Bemerkung: Seien \({\mathscr{F}}\) und \({\mathscr{G}}\) Prägarben über X, und sei \(h:\space {\mathcal F} \to {\mathscr{G}}\) ein Homomorphismus. Sei p ∈ X. Dann besteht eine Abbildung \begin{eqnarray}{h}_{p}:{{\mathscr{F}}}_{p}\to {{\mathscr{G}}}_{p},\space \space \space {m}_{p}\mapsto {h}_{U}{(m)}_{p},\end{eqnarray} wobei \(m\in {\mathcal F} (U)\), \(U\in {{\mathbb{U}}}_{p}\). h_p ist dabei ein Homomorphismus zwischen den Halmen, man nennt hp deshalb den in den Halmen über p durch h induzierten Homomorphismus.

[1] Brodmann, M.: Algebraische Geometrie. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin, 1989.