Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Es sei ϱ > 1 eine reelle Zahl. Γ_H ≔ {ϱ^k : k ∈ ℤ} ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen. Zwei Elemente ζ₁, ζ₂ ∈ ℂⁿ \ {0} sollen äquivalent genannt werden, wenn es ein ϱ^k ∈ Γ_H mit ζ₂ = ϱ^kζ₁ gibt. Die Menge H aller Äquivalenzklassen werde mit der feinsten Topologie versehen, für die die kanonische Projektion π_H : ℂⁿ \ {0} → H stetig ist. Komplexe Koordinatensysteme für H erhält man folgendermaßen: Es sei \begin{eqnarray}{F}_{r}:=\{\zeta \in {{\mathbb{C}}}^{n}\backslash \{0\}:r\lt \Vert \zeta \Vert \lt \varrho r\},\end{eqnarray} für beliebige reelle Zahlen r > 0. Dann ist \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{r\in {{\rm{{\mathbb{R}}}}}_{\gt 0}}{F}_{r}={{\mathbb{C}}}^{n}\backslash \{0\},\end{eqnarray} und man kann zeigen, daß \begin{eqnarray}{\pi }_{H}|{F}_{r}:{F}_{r}\to {U}_{r}:=\pi ({F}_{r})\subset H\end{eqnarray} ein Homöomorphismus ist, wobei π : ℂⁿ \{0} → ℙⁿ⁻¹ mit π(ζ) ≔ [ζ] die natürliche Projektion bezeichne. (U_r, ϕ_r) mit ϕ_r ≔ (π_H | F_r)⁻¹ ist also eine komplexe Karte. Es gilt der folgende Satz:

H ist eine kompakte n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, die „Hopfsche Mannigfaltigkeit“, und π_H : ℂⁿ \ {0} → H ist holomorph.

Für ζ₁, ζ₂ ∈ ℂⁿ \ {0} gilt: Ist π_H(ζ₁) = π_H(ζ₂), so gibt es ein k ∈ ℤ mit ζ₂ = ϱ^kζ₁. Dann ist aber [ζ₂] = [ζ₁]. Durch h(π_H(ζ)) ≔ [ζ] wird also eine Abbildung h : H → ℙ^{n− 1} definiert. Man erhält das folgende kommutative Diagramm: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcc}{{\mathbb{C}}}^{n}\backslash \{0\} & \mathop{\to }\limits^{\pi } & {{\mathbb{P}}}^{n-1}\\ {\pi }_{H}\searrow & & \nearrow h\\ & H & \end{array}\end{eqnarray}

Da π_H lokal biholomorph ist, folgt, daß h holomorph ist.

[1] Grauert, H.; Fritzsche, K.: Einführung in die Funktionentheorie mehrer Veränderlicher. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1974.