eine lineare Abbildung A : ℝⁿ → ℝⁿ, die keine Eigenwerte λ mit |λ| = 1 besitzt.

Für eine lineare Abbildung B : ℝⁿ → ℝⁿ, die nicht 0 als Eigenwert besitzt, ist e^B hyperbolisch<?PageNum _462 (Matrix-Exponentialfunktion). Für ein solches B hat die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung \begin{eqnarray}\mathop{x}\limits^{.}=Bx\end{eqnarray} bei 0 einen hyperbolischen Fixpunkt.

Für Eigenwerte λ ∈ ℝ von A bezeichne E_λ den zugehörigen (verallgemeinerten) Eigenraum bzw. für Eigenwerte λ ∈ ℂ bezeichne \begin{eqnarray}{E}_{\lambda, \bar{\lambda }}:=({E}_{\lambda }\oplus {E}_{\bar{\lambda }})\cap {{\mathbb{R}}}^{n}\end{eqnarray}, wobei dann E_λ bzw. \begin{eqnarray}{E}_{\bar{\lambda }}\end{eqnarray} die verallgemeinerten Eigenräume der Komplexifizierung von A seien. Man nennt die unter A invarianten Teilräume \begin{eqnarray}{E}^{-}:={\oplus }_{|\lambda |\lt 1}{E}_{{\rm{\Lambda }}}\oplus {\oplus }_{|\lambda |\lt 1}{E}_{\lambda, \bar{\lambda }},\\ {E}^{+}:={\oplus }_{|\lambda |\gt 1}{E}_{{\rm{\Lambda }}}\oplus {\oplus }_{|\lambda |\gt 1}{E}_{\lambda, \bar{\lambda }},\\ {E}^{0}:={E}_{-1}\oplus {E}_{+1}\oplus {\oplus }_{|\lambda |=1}{E}_{\lambda, \bar{\lambda }}\end{eqnarray} den stabilen, instabilen, bzw. Zentrumsraum von ℝⁿ bzgl. A. Damit hat man die direkte Zerlegung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{{\mathbb{R}}}^{n}={E}^{0}\oplus {E}^{+}\oplus {E}^{-}.\end{array}\end{eqnarray}

Die Räume E⁺ und E⁻ heißen expandierender bzw. kontrahierender Unterraum. Es gilt:

Sei A : ℝⁿ → ℝⁿ hyperbolische lineare Abbildung mit der zugehörigen direkten Zerlegung in invariante Teilräume (1). Dann gilt:

1. Für x ∈ E⁺ist \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray}. Ist zusätzlich A invertierbar, so gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to -\infty }{A}^{k}x=0\end{eqnarray}.
2. Für x ∈ E⁻ist \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }{A}^{k}x=0\end{eqnarray}. Ist zusätzlich A invertierbar, so ist \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to -\infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray}.
3. Für x ∈ ℝⁿ \ (E⁺ ⊕ E⁻) ist \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray}. Ist zusätzlich A invertierbar, so ist \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to -\infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray}.