oder Hysteresis. liegt in einem dynamischen System vor. wenn zwei in ihm auftretende zeitabhängige Größen in einer Beziehung zueinander stehen. welche bei der Verknüpfung ihrer Momentanwerte auch den zeitlich davor liegenden Funktionsverlauf berücksichtigt.

Bei skalaren Größen v = v(t). z = z(t) ist die Ausbildung von Hystereseschleifen beim Durchlaufen der durch (v(t), z(t)) gegebenen Kurve ein typisches Anzeichen für das Auftreten von Hysteresis.

Man spricht von ratenunabhängiger Hysteresis. wenn die Hystereseschleifen invariant sind hinsichtlich Zeittransformationen. Wird der hysteretische Zusammenhang zweier zeitabhängiger Funktionen v und z durch einen Hystereseoperator z = H[v] im Funktionenraum beschrieben. so bedeutet Ratenunabhängigkeit. daß H[v○ϕ] = H[v] ○ϕ gilt für alle Zeittransformationen p und alle Funktionen v.

Ein grundlegendes Beispiel eines ratenunabhängigen Operators stellt der Stop-Operator dar. welcher durch die Evolutionsvariationsungleichung \begin{eqnarray}\langle \dot{z}(t)-\dot{v}(t),z(t)-x\rangle \le 0,\quad \forall x\in K,\quad z(t)\in K,\end{eqnarray} für alle t ≥ t₀ mit einem Anfangswert z(t₀) = z₀ beschrieben wird. Hierbei ist K eine konvexe abgeschlossene Teilmenge eines Hilbertraums V. in dem die Funktionen v und z ihre Werte annehmen. Eine äquivalente Beschreibung wird gegeben durch die Differentialinklusion \begin{eqnarray}\dot{z}(t)\in \dot{v}(t)-{N}_{z(t)}(K),\end{eqnarray} wobei N_z(t) (K) den Normalenkegel an K im Punkt z(t) bezeichnet.

Ein weiteres Beispiel stellt der Input-Output- Operator eines durch \begin{eqnarray}\dot{x}=Ax|\dot{v}|+B\dot{v},\quad z=Cx,\end{eqnarray} beschriebenen ratenunabhängigen Kontrollsystems dar.

Weit verbreitet ist auch das Preisach-Modell. welches ursprünglich zur phänomenologischen Beschreibung des konstitutiven Zusammenhangs zwischen Magnetisierung und magnetischer Feldstärke entwickelt worden ist.

Die auf dem Stop-Operator aufbauenden Hystereseoperatoren finden Anwendung bei unilateralen Problemen der Mechanik. etwa bei der Modellierung elastoplastischer Materialgesetze und der Beschreibung von Kollisionen und Reibungsphänomenen.