Lexikon der Mathematik: implizite Funktion
durch eine Gleichung der Form
Der Satz über implizite Funktionen nennt hinreichende Bedingungen für die Existenz von f:
Seien X ⊂ ℝp und Y ⊂ ℝq nicht-leere offene Mengen, x0 ∈ X, y0 ∈ Y, und sei F : X × Y → ℝq stetig differenzierbar mit F(x0, y0) = 0. Ist dann die Matrix
Für x ∈ U ist y = f (x) die einzige in V liegende Lösung von F(x, y) = 0. Für x ∈ U und y ∈ V gilt
\(\frac{\partial F}{\partial y}({x}_{0},{y}_{0})\) ist gerade die Jacobi-Matrix \({J}_{{F}_{0}}({y}_{0})\) der durch F0(y) = F(x0, y) für y ∈ Y definierten Funktion F0 : Y → ℝq an der Stelle y0. Um die Invertierbarkeit dieser Matrix zu untersuchen, kann man ihre Determinante det \({J}_{{F}_{0}}({y}_{0})\) berechnen.
Die Differentiation impliziter Funktionen ist auch unter etwas schwächeren als den obigen Voraussetzungen noch möglich.
In starker Verallgemeinerung kennt man auch den folgenden Satz über implizite Funktionen: Sind \({f}_{1},\ldots, {f}_{k}\in {{\mathscr{O}}}_{{{\mathbb{C}}}^{n},0}\) analytische Funktionskeime mit
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