Kennzahl einer Untergruppa

Seien (G, ·) eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Ist G endlich, so ist der Index I(G, H) von H in G definiert durch \begin{eqnarray}I(G,H)=|G|/|H|.\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet |H| die Anzahl der Elemente der Gruppe H.

Es gilt: Der Index von H in G ist eine natürliche Zahl, und zwar ist er gleich der Anzahl der Linksnebenklassen von H in G. Eine Linksnebenklasse ist eine Menge der Art gH = {g · h | h ∈ H}.

Der Indexbegriff läßt sich jedoch auch dann sinnvoll definieren, wenn sowohl G als auch H unendlich viele Elemente enthalten. Dann ist zwar der Quotient |G| / |H| nicht mehr definiert, aber es kommt vor, daß es trotzdem nur endlich viele Linksnebenklassen von H in G gibt. In solchen Fällen wird I(G, H) als diese Anzahl definiert.