symplektische Abbildung, die ein lokaler Diffeomorphismus ist.

Kanonische Transformationen wurden historisch gesehen zwischen offenen Teilmengen des \(({{\mathbb{R}}}^{2n},\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}d{q}_{i}\wedge d{p}_{i})\) in der Form (q, p) = (q₁, …, q_n, p₁, …, p_n) ↦ (Q₁(q, p), …, Q_n(q, p), P₁(q, p), …, P_n(q, p)) ≕ (Q(q, p), P(q, p)) definiert, wobei die Invarianz der symplektischen 2-Form folgende Bedingungsgleichung annimmt: \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d{q}_{i}\wedge dpi=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d{Q}_{i}(q,p)\wedge d{P}_{i}(q,p).\end{eqnarray}Diese Gleichung läßt sich in verschiedener Weise in der Form dϕ = 0 schreiben, wobei ϕ eine geeignete 1-Form ist.