gibt notwendige und hinreichende Bedingungen für die fast sichere Konvergenz der aus der Folge von Zufallsvariablen (X_n)_n∈ℕ gebildeten Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{X}_{n}\) an, ohne die Voraussetzung der Beschränktheit an die Zufallsvariablen X_n zu stellen.

Sei (X_n)_n∈ℕeine Folge von unabhängigen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierten reellen Zufallsvariablen. Für die P-fast sichere Konvergenz der Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{X}_{n}\)ist es notwendig, daß die Reihen \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }E({X}_{n}^{(c)}),\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }Var({X}_{n}^{(c)})und\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(|{X}_{n}|\ge c)\end{eqnarray}für jedes c > 0 konvergieren, und hinreichend, daß die Konvergenz der drei Reihen für mindestens ein c > 0 gegeben ist.

Dabei sind die im Satz auftretenden Zufallsvariablen \({X}_{n}^{(c)}\) für jedes n ∈ ℕ und jedes c > 0 durch \begin{eqnarray}{X}_{n}^{(c)}:\Omega \ni \omega \to \left\{\begin{array}{rl}{X}_{n}(\omega ), & |{X}_{n}(\omega )|\le c\\ 0, & |{X}_{n}(\omega )|\gt c\end{array}\right.\in {\mathbb{R}}\end{eqnarray} definiert.