Charakterisierungskriterium für beste Approximationen hinsichtlich eines Teilraums von stetigen Funktionen.

Es sei B eine kompakter Raum, C(B) der Raum der stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktionen auf B, und es bezeichne ∥.∥_∞ die Maximumnorm. Weiterhin sei, für f ∈ C(B), \begin{eqnarray}E(f)=\{t\in B:|f(t)|={\Vert f\Vert }_{\infty }\}\end{eqnarray} die Menge der Extremalpunkte von f in B. Ist G ⊆ C(B) ein Teilraum, so heißt für vorgegebenes f ∈ C(B) eine Funktion g_f ∈ G beste Approximation an f hinsichtlich ∥.∥_∞, falls gilt \begin{eqnarray}{\Vert f-{g}_{f}\Vert }_{\infty }\le {\Vert f-g\Vert }_{\infty },g\in G.\end{eqnarray}

Der folgende Satz zeigt, daß beste Approximationen durch das Kolmogorow-Kriterium charakterisiert werden. Er wurde von Kolmogorow 1948 bewiesen.

Eine Funktion g_f ∈ G ist genau dann beste Approximation an f ∈ C(B) hinsichtlich ∥.∥_∞, falls das Kolmogorow-Kriterium \begin{eqnarray}\mathop{\min }\limits_{t\in E(f-{g}_{f})}Re(\overline{f(t)-{g}_{f}(t)})g(t)\le 0,g\in G,\end{eqnarray}erfüllt ist. (Hierbei bezeichnet \(\bar{z}\)die konjungiert komplexe Zahl zu z.)

Verallgemeinerungen des Kolmogorow-Kriteriums im Rahmen nichtlinearer Approximation wurden von G. Meinardus und D. Schwedt entwickelt.

[1] Meinardus G.: Approximation of Functions, Theory and Numerical Methods. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1967.
[2] Nürnberger G.: Approximation by Spline Functions. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1989.