die Lösungen \({\Theta }_{l}^{m}(\vartheta )\) der Differentialgleichung \begin{eqnarray}\frac{1}{\sin \vartheta }\frac{d}{d\vartheta }\left(\sin \vartheta \frac{d{\vartheta }_{l}^{m}}{d\vartheta }\right)+\left(l(l+l)-\frac{{m}^{2}}{{\sin }^{2}\vartheta }\right){\Theta }_{l}^{m}=0\end{eqnarray}

für l ∈ ℕ₀, m = −l,…, l, die vermöge \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|{\Theta }_{l}^{m}(\vartheta ){|}^{2}\sin \vartheta d\vartheta =1\end{eqnarray}

normiert werden. Der willkürliche Phasenfaktor wird typischerweise reell gewählt, das Vorzeichen wird jedoch in der Literatur uneinheitlich gehandhabt.

Man kann die Lösungen dieser Differentialgleichung direkt angeben, es ist \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\Theta }_{l}^{m}(\vartheta ) & = & \frac{{(-1)}^{l}}{{2}^{l}l!}\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{1}{{\sin }^{m}\vartheta }}\\ & & \frac{{d}^{l-m}}{d{(\cos \vartheta )}^{l-m}}{\sin }^{2l}\vartheta \\ & = & \frac{{(-1)}^{l+m}}{{2}^{l}l!}\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}}{\sin }^{2l}\vartheta \\ & & \frac{{d}^{l+m}}{d{(\cos \vartheta )}^{l+m}}{\sin }^{2l}\vartheta.\end{array}\end{eqnarray}

Man erhält die Kugelfunktionen für m < l folgendermaßen rekursiv aus der Kugelfunktion \({\Theta }_{l}^{l}\): \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{\Theta }_{l}^{m}(\vartheta ){e}^{im\varphi }=\sqrt{\frac{(l+m)!}{(2l)!(l-m)!}}\\ {\left({e}^{-i\varphi }\left(-\frac{d}{d\vartheta }+i\frac{1}{\tan \vartheta }\frac{d}{d\varphi }\right)\right)}^{l-m}{\Theta }_{l}^{l}(\vartheta ){e}^{il\varphi }.\end{array}\end{eqnarray}

Die Kugelfunktionen \({\Theta }_{l}^{m}\) und \({\Theta }_{l}^{-m}\) sind durch die Symmetrierelation \begin{eqnarray}{\Theta }_{l}^{m}(\vartheta )={(-1)}^{m}{\Theta }_{l}^{-m}(\vartheta )\end{eqnarray}

miteinander verbunden.

Bis auf die Normierung und eine triviale Substitution gleichen die Kugelfunktionen den zugeordneten Legendre-Polynomen \({P}_{l}^{m}\), es ist nämlich \begin{eqnarray}{\Theta }_{l}^{m}(\vartheta )={(-1)}^{m}\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}{P}_{l}^{m}(\cos \vartheta )\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{\Theta }_{l}^{-m}(\vartheta )=\sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}{P}_{l}^{m}(\cos \vartheta ),\end{eqnarray}

jeweils für m ≥ 0.

Die Funktionen \({Y}_{l}^{m}\), definiert durch \begin{eqnarray}{Y}_{l}^{m}(\vartheta, \varphi ):=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\varphi }{\Theta }_{l}^{m}(\vartheta ),\end{eqnarray}

bezeichnet man als Kugelflächenfunktionen. Sie bilden bezüglich des Skalarproduktes auf der Kugeloberfläche in Kugelkoordinaten (ϑ, ϕ), \begin{eqnarray}\langle f,g\rangle :=\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\overline{f(\vartheta, \varphi )}g(\vartheta, \varphi )\sin \vartheta d\vartheta d\varphi \end{eqnarray}

ein vollständiges Orthonormalsystem von Funktionen auf der Kugeloberfläche. Die Kugelflächenfunktionen erfüllen die Symmetrie-Relationen \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}\overline{{Y}_{l}^{m}(\vartheta, \varphi )} & = & {(-1)}^{m}{Y}_{l}^{-m}(\vartheta, \varphi ),\\ {Y}_{l}^{m}(\pi -\vartheta, \varphi +\pi ) & = & {(-1)}^{l}{Y}_{l}^{m}(\vartheta, \varphi ).\end{array}\end{eqnarray}

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Letztere beschreibt das Verhalten von \({Y}_{l}^{m}\) bei Inversion am Kugelzentrum. Die Kugelflächenfunktionen für |m| < 3 lauten explizit: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}{Y}_{0}^{0}(\vartheta, \varphi ) & = & \frac{1}{\sqrt{4\pi }}\\ {Y}_{1}^{0}(\vartheta, \varphi ) & = & \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta \\ {Y}_{0}^{\pm 1}(\vartheta, \varphi ) & = & \mp \sqrt{\frac{8}{3\pi }}\sin \vartheta {e}^{\pm i\varphi }\\ {Y}_{2}^{0}(\vartheta, \varphi ) & = & \sqrt{\frac{5}{16\pi }}(3{\cos }^{2}\vartheta -1)\\ {Y}_{2}^{\pm 1}(\vartheta, \varphi ) & = & \mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\sin \vartheta \cos \vartheta {e}^{\pm i\varphi }\\ {Y}_{2}^{\pm 2}(\vartheta, \varphi ) & = & \sqrt{\frac{15}{32\pi }}{\sin }^{2}\vartheta {e}^{\pm 2i\varphi }\end{array}\end{eqnarray}

Die Kugelfunktionen und Kugelflächenfunktionen finden vor allem in der Quantenmechanik Anwendung. Sie sind nämlich die gemeinsamen Eigenfunktionen des Drehimpulsquadrates \({\overrightarrow{\ell }}^{2}\) und der z-Komponente ℓ_z in Ortsdarstellung. Die Indizes l und m haben dann die physikalische Bedeutung der Drehimpulsquantenzahl l und der azimutalen oder magnetischen Quantenzahl m.

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.