Lexikon der Mathematik: Lefschetz, Fixpunktsatz von
die im folgenden formulierte Aussage über die Existenz eines Fixpunktes.
Es sei Hp(X) die p-dimensionale Homologiegruppe eines endlichen Polyhedrons X, Tp(X) die Torsionsunterguppe von Hp(X) und Bp(X) = Hp(X)/Tp(X). Jede stetige Abbildung f : X → X induziert auf natürliche Weise einen Homomorphismus f∗ des freien ℤ-Moduls Bp(X) in sich selbst. Ist αp die Spur von f∗ und n = dim X, dann heißt
die Lefschetz-Zahl von f. Es gilt dann der folgende Fixpunktsatz.
- Es seien f, g : X → X stetig. Sind f und g homotop, dann ist Λf = Λg.
- Ist Λf ≠ 0, so hat f mindestens einen Fixpunkt.
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