Verallgemeinerungen der Funktionenräume L^p(μ) und der Folgenräume ℓ^p.

Sei (Ω, Σ, μ) ein Maßraum und f : Ω → ℂ meßbar. Man setze \begin{eqnarray}{d}_{f}(s)=\mu \{\omega :|f(\omega )|\gt s\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{f}^{* }(t)=\inf \{s:{d}_{f}(s)\le t\}\end{eqnarray} für 0 ≤ t < μ(Ω) bzw. f* (t) = 0 für t ≥ μ(Ω).

f* heißt die fallende Umordnung von f; f* hat dieselbe Verteilung bzgl. des Lebesgue-Maßes wie | f| bzgl. μ, d.h. d_f = d_f*. Für 0 < p < ∞ und 0 < q ≤ ∞ setze man \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{p,q}={\left(\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{({t}^{1/p}{f}^{* }(t))}^{q}\frac{dt}{t}\right)}^{1/q}\end{eqnarray} im Fall q < ∞, und \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{p,\infty }=\mathop{\sup }\limits_{t\ge 0}{t}^{1/p}{f}^{* }(t).\end{eqnarray}

Der Lorentz-Raum L^p,q(μ) besteht aus allen (Äquivalenzklassen von) meßbaren Funktionen f mit ∥f∥_p,q < ∞.

Auf dem Raum L^p,q(μ) ist ∥·∥_p,q eine Quasinorm (im Fall 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ p sogar eine Norm), und (L^p,q(μ), ∥ · ∥_p,q) ist ein Quasi-Banachraum. Man kann im Fall 1 < p < q ≤ ∞ jedoch eine äquivalente Banachraum-Norm finden.

Ist p = q, so erhält man offensichtlich L^p,p(μ) = L^p(μ) und ∥f∥_{p, p} = ∥f ∥_p; die Räume L^p,∞(μ) heißen auch schwache L^p-Räume. Es gilt stets \({L}^{p,{q}_{1}}(\mu )\subset {L}^{p,{q}_{2}}(\mu )\) für q₁ ≤ q₂, und für endliche Maße hat man \({L}^{{p}_{1},{q}_{1}}(\mu )\supset {L}^{{p}_{2},{q}_{2}}(\mu )\) für p₁ < p₂ und beliebige q_j.

Im Fall des zählenden Maßes auf ℕ wird L^p,q(μ) mit ℓ^p,q bezeichnet. Eine äquivalente (Quasi-) Norm ist hier \begin{eqnarray}{\Vert ({s}_{n})\Vert }_{p,q}^{\prime}=\mathop{\sup }\limits_{\pi }{\left(\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{|{s}_{\pi (n)}|}^{q}{n}^{q/p-1}\right)}^{1/q}\end{eqnarray} bzw \begin{eqnarray}{\Vert ({s}_{n})\Vert }_{p,\infty }^{\prime}=\mathop{\sup }\limits_{\pi }\,{n}^{1/p}|{s}_{\pi (n)}|,\end{eqnarray} wobei sich das Supremum über alle Permutationen π : ℕ → ℕ erstreckt. Es gilt \({\ell }^{{p}_{1},{q}_{1}}\subset {\ell }^{{p}_{2},{q}_{2}}\) für p₁ < p₂ und beliebige q_j oder für p₁ = p₂ und q₁ ≤ q₂. Ist (s_n) ∈ ℓ^p,q mit q < ∞, so strebt die fallende Umordnung \(({s}_{n}^{* })\) schneller gegen 0 als n^−1/p; der zweite Index q spezifiziert ein weiteres logarithmisches Abklingverhalten. Beispielsweise ist (s_n) mit s₁ = 0 und s_n = n^−1/p(log n)^−1/q+ϵ sonst für jedes ϵ > 0 in ℓ^p,q.

Die Lorentz-Räume treten in der Interpolationstheorie linearer Operatoren auf. Ferner sind viele Operatoren, die für p > 1 als Operatoren von L^p nach L^p stetig sind, nicht mehr für p = 1 stetig, wohl aber von L¹ nach L^1,∞; ein Beispiel ist die Hilbert-Transformation.