reelle quadratische Matrix mit spezieller Struktur.

Eine reelle (n × n)-Matrix A = (a_ij) heißt M-Matrix, wenn sie die folgenden drei Eigenschaften hat: a_ij ≤ 0 für i ̸= j, A ist regulär, A⁻¹ ≥ 0. Dabei ist ‘≥ 0’ (wie unten auch ‘> 0’) komponentenweise zu verstehen.

Für M-Matrizen gibt es mehr als 50 äquivalente Charakterisierungen. U.a. gilt der folgende Satz:

Eine reelle (n × n)-Matrix A = (a_ij) mit a_ij ≤ 0 für i ≠ j ist genau dann eine M-Matrix, wenn sie eine der beiden folgenden Eigenschaften besitzt:

a) Es gibt einen Vektor x > 0 mit Ax > 0.

b) Es gibt eine reelle Zahl s und eine (n×n)-Matrix B mit A = sI − B, B ≥ 0 und s > ϱ(B), wobei ϱ(B) den Spektralradius von B bezeichnet.

M-Matrizen spielen eine Rolle bei Konvergenzfragen iterativer Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.