auf einer Menge M mit einem ausgezeichneten Element e ∈ M, Funktion N : M → M mit folgenden Eigenschaften:

• N ist injektiv.
• e ∉ N(M).
• ∀A ⊂ M [e ∈ A ∧ N(A) ⊂ A ⇒ A = M].

Gemäß dem Einzigkeitssatz für natürliche Zahlen gibt es bis auf Isomorphie genau eine solche Menge mit ausgezeichnetem Element und Nachfolgerfunktion. Daher lassen sich die natürlichen Zahlen ℕ als Menge mit ausgezeichnetem Element l und Nachfolgerfunktion N : ℕ → ℕ definieren. Die letzte der obigen Eigenschaften beinhaltet das Induktionsprinzip und ist so Grundlage der Definition durch Rekursion, mit deren Hilfe man die Addition und die Multiplikation natürlicher Zahlen durch folgende Funktionalgleichungen erklärt: Für m ∈ ℕ sei

\begin{eqnarray}\begin{array}{rll}m+1 & := & N(m)\\ m+N(n) & := & N(m+n)\quad\quad\quad (n\in {\mathbb{N}})\end{array}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\begin{array}{rll}m\cdot 1 & := & m\\ m\cdot N(n) & := & (m\cdot n)\quad\quad\quad (n\in {\mathbb{N}}).\end{array}\end{eqnarray}

Mittels vollständiger Induktion zeigt man Assoziativität und Kommutativität von Addition und Multiplikation und das Distributivgesetz.