Eine Abbildung zwischen Vektorräumen. Meist, so auch im folgenden, wird implizit darunter eine lineare Abbildung verstanden.

Das Bild oder der Wertebereich eines Operators T : X → Y ist die Menge \begin{eqnarray} im(T) = \{Tx:x \in X\} \subset Y, \end{eqnarray} und sein Kern die Menge \begin{eqnarray} ker(T) = \{ x \in X:Tx=0 \}\subset X \end{eqnarray} (auch mit Im(T) bzw. Ker(T) bezeichnet). Kern und Bild eines linearen Operators sind Unterräume; sind X und Y normierte (oder Hausdorffsche topologische) Vektorräume und T stetig, so ist der Kern abgeschlossen, das Bild hingegen i. allg. nicht.

Ein unbeschränkter Operator T ist in der Regel nicht auf einem ganzen Banachraum X definiert, sondern nur auf einem dichten Teilraum D(T), seinem Definitionsbereich. Die Wahl des Definitionsbereichs ist, insbesondere in der Theorie der selbstadjungierten Operatoren, von entscheidender Bedeutung. Der Graph eines solchen Operators ist die Menge \begin{eqnarray} gr(T) = \{(x,Tx):x \in D(T)\} \subset X \times Y \: . \end{eqnarray}

Sind X und Y Banachräume, und ist gr(T) ein abgeschlossener Unterraum des Produkt-Banachraums X ⊕ Y, so heißt T abgeschlossener Operator.