folgender wichtiger von J.L. Doob gefundener Satz über die Erhaltung der Martingaleigenschaft, welcher dahingend interpretiert werden kann, daß sich der zu erwartende Gewinn bei einem gerechten Spiel durch die Wahl des Zeitpunkts, zu dem das Spiel beendet wird, nicht verändern läßt.

Es sei \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\)ein Wahrscheinlichkeitsraum und (X_t)_t∈[0,∞)ein rechtsstetiges Martingal bezüglich der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in [0,\infty )}\)in \({\mathfrak{A}}\)Weiterhin sei (T_j)_j∈J, \(J\subseteq \,{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\), eine Familie von monoton wachsenden beschränkten Stoppzeiten bezüglich \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in [0,\infty )}\)mit Werten in \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\).

Dann ist \({({X}_{{T}_{j}})}_{j\in J}\)ein Martingal bezüglich der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{{T}_{j}})}_{j\in J}\).

Dabei wird eine Familie (T_j)_j∈J von Stoppzeiten mit Werten in \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) als monoton wachsend bezeichnet, wenn für alle ω ∈ Ω und s, t ∈ J aus s ≤ t stets \begin{eqnarray}{T}_{s}(\omega )\le {T}_{t}(\omega )\end{eqnarray} folgt. Die Familie heißt beschränkt, falls eine Konstante α mit T_s (ω) ≤ α für alle ω ∈ Ω und alle s ∈ J existiert. Die im Satz auftretenden Zufallsvariablen \({X}_{{T}_{j}}\), sind für alle j ∈ J durch \begin{eqnarray}{X}_{{T}_{j}}:{\rm{\Omega }}\ni \omega \to {X}_{{T}_{j}(\omega )}(\omega )\in {\mathbb{R}},\end{eqnarray} und die σ-Algebren \({{\mathfrak{A}}}_{{T}_{j}}\), welche als σ-Algebren der T_j-Vergangenheit bzw. als σ-Algebren der Ereignisse bis zum Zeitpunkt T_j bezeichnet werden, durch \begin{eqnarray}{{\mathfrak{A}}}_{{T}_{j}}=\displaystyle \mathop{\bigcap }\limits_{t\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}}\{A\in {{\mathfrak{A}}}_{\infty }:A\cap \{{T}_{j}\le t\}\in {{\mathfrak{A}}}_{t}\}\end{eqnarray} definiert, wobei \begin{eqnarray}{{\mathfrak{A}}}_{\infty }=\sigma \left(\displaystyle \mathop{\bigcup }\limits_{t\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}}{{\mathfrak{A}}}_{t}\right)\end{eqnarray} die von den \({{\mathfrak{A}}}_{t}\), \(t\in \,{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) erzeugte σ-Algebra bezeichnet.

Der Satz vom Optional Sampling bleibt auch für Sub- bzw. Supermartingale gültig. Der Spezialfall des Satzes, bei dem die Stoppzeiten T_j ausgehend von einer beschränkten Stoppzeit T für alle j ∈ J durch T_j ≔ min(T, j) definiert sind, wird als Optional Stopping bezeichnet. Abschwächungen der Voraussetzungen an die Stoppzeiten führen u.a. auf die Waldsche Identität.