lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes, unbeschränktes Gebiet und f eine in G holomorphe Funktion. Weiter sei ϕ eine in G beschränkte, holomorphe Funktion mit ϕ(z) ≠ 0 für alle z ∈ G. Schließlich existiere eine Konstante M ≥ 0 derart, daß lim sup_z→ζ |f(z)| ≤ M für alle ζ ∈ ∂G und lim sup_z→∞ |f(z)||ϕ(z)|^η ≤ M für jedes η > 0.

Dann gilt |f (z)| ≥ M für alle z ∈ G.

Der Satz von Phragmén-Lindelöf ist eine Art Maximumprinzip für unbeschränkte Gebiete.

Es seien noch zwei wichtige spezielle Versionen für Winkelräume erwähnt.

Es sei \(\alpha \ge \frac{1}{2}\), \begin{eqnarray}G=\left\{z\in {\mathbb{C}}:|\arg z|\lt \frac{\pi }{2\alpha }\right\},\end{eqnarray}f eine in G holomorphe Funktion und M ≥ 0 eine Konstante derart, daß lim sup_z→ζ |f(z)| ≤ M für alle ζ ∈ ∂G. Weiter seien R, C und β positive Konstanten derart, daß β < α und |f(z)| ≤ C exp (|z|^β ) für alle z ∈ G mit |z| > R.

Dann gilt \begin{eqnarray}|f(z)|\le M\end{eqnarray}für alle z ∈ G.

Eine andere Version ist:

Es sei \(\alpha \ge \frac{1}{2}\), \begin{eqnarray}G=\left\{z\in {\mathbb{C}}:|\arg z|\lt \frac{\pi }{2\alpha }\right\},\end{eqnarray}f eine in G holomorphe Funktion und M ≥ 0 eine Konstante derart, daß lim sup_z→ζ |f(z)| ≤ M für alle ζ ∈ ∂G. Für jedes δ > 0 seien R = R(δ) und C = C(δ) positive Konstanten derart, daß |f(z)| ≤ C exp (δ|z|^α) für alle z ∈ G mit |z| > R.

Dann gilt \begin{eqnarray}|f(z)|\le M\end{eqnarray}für alle z ∈ G.

Ist f (z) = exp (z^α), so ist f stetig auf \(\bar{G}\), holomorph in G und |f (z)| = 1 für alle z ∈ ∂G. Offensichtlich ist f aber unbeschränkt in G. Dieses Beispiel zeigt, daß die Wachstumsvoraussetzung an f in G nicht abgeschwächt werden kann.