Klasse der Komplexitätsklassen \({\Sigma }_{k}^{p}\) und \({\Pi }_{k}^{p}\).

Eine Sprache L ist in \({\Sigma }_{k}^{p}\) enthalten, wenn es eine Sprache L′ in der Komplexitätsklasse P gibt, so daß x genau dann in L enthalten ist, wenn für eine alternierende und mit einem existentiellen Quantor beginnende Folge Q₁,…, Q_k von Quantoren und Wörter y₁,…, y_k mit einer bzgl. x festen polynomiellen Länge \begin{eqnarray}{Q}_{1}{y}_{1}\ :\mathrm{\ldots }\ {Q}_{k}{y}_{k}\ :(x,\ {y}_{1},\ \mathrm{\ldots }\,\ {y}_{k})\ \in \ {L}^{^{\prime} }\end{eqnarray} gilt. \({\Pi }_{k}^{p}\) ist analog definiert, nur muß Q₁ ein universeller Quantor sein.

Es ist \({\Sigma }_{0}^{p}\ =\ {\Pi }_{0}^{p}\ =\ \text{P,}\ \ {\Sigma }_{1}^{p}\ =\ \text{NP}\) und \({\Pi }_{1}^{p}\ =\ \text{co-NP}\). Es wird vermutet, daß ein Hierarchiesatz sowohl für die Klassen \({\Sigma }_{k}^{p}\) als auch für die Klassen \({\Pi }_{k}^{p}\) gilt, und daß \({\Sigma }_{k}^{p}\) und \({\Pi }_{k}^{p}\) unvergleichbar sind.