Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Sei \(X\mathop{\to }\limits^{\pi }S\) ein eigentlicher Morphismus eines Schemas X in ein Noethersches Schema S, und E eine kohärente Garbe auf X. Für jedes S-Schema q : T → S sei X_T = X ×_S T, wobei q_T : X_T → X die Projektion auf X′, p_T : X_T → T die Projektion auf T, und \({{\mathcal E} }_{T}={q}_{T}^{* }( {\mathcal E} )\) ist.

Anschaulich ist (X, ℰ) zu verstehen als Familie von Paaren (X_t, ℰ_t) eines algebraischen Schemas X_t mit einer kohärenten Garbe ℰ_t, wobei t die geometrischen Punkte von S durchläuft

\begin{eqnarray}({X}_{t}=X{\times }_{S}t,{{\mathcal E} }_{t}={q}_{t}^{* }( {\mathcal E} )).\end{eqnarray}

Das zugehörige Quot-Schema soll die Familie aller Quotienten ℰ_t/𝒢 (𝒢 ⊂ ℰ(t)) parametrisieren.

Eine Familie von Quotienten von E über einem S-Schema T → S ist eine kohärente Garbe auf X_T der Form ℱ = ℰ_T/𝒢, 𝒢 ⊂ ℰ_T, die flach über T ist. Die Bedingung ”flach“ gewährleistet, daß gewisse ”pathologische“ Familien ausgeschlossen werden; wenn T = t ein geometrischer Punkt ist, ist sie automatisch für jeden Quotienten erfüllt. Außerdem garantiert sie die Stetigkeit wichtiger numerischer Invarianten, z. B. Funktionen der Art

\begin{eqnarray}t\in T\mapsto \chi ({X}_{t},{{\mathcal F} }_{t}\otimes {{\mathcal L} }_{t})\end{eqnarray}

für alle Geradenbündel ℒ auf X.

Ist \(\tilde{Q}(T)\) die Menge aller Familien solcher flacher Quotienten von ℰ_T über T, so ist \(T\mapsto \tilde{Q}(T)\) ein Kofunktor auf der Kategorie der S-Schemata, da ein Morphismus h : T′ → T über S aus einem Quotien ten \({{\mathcal E} }_{T}\mathop{\to }\limits^{\pi } {\mathcal F} \) einen Quotienten

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{h}^{\#}(\pi ):{{\mathcal E} }_{{T}^{\prime}} & = & (i{d}_{X}{\times }_{S}h)* ({{\mathcal E} }_{T})\to {{\mathcal F} }^{\prime}\\ & = & (i{d}_{X}\times h)* ( {\mathcal F} )\end{array}\end{eqnarray}

induziert. Gefragt wird also nach der Existenz eines universellen Quotienten \({{\mathcal E} }_{Q}\mathop{\to }\limits^{\pi }{{\mathcal E} }_{Q}/ {\mathcal H} \) über einem S-Schema Q so, daß für jedes S-Schema T die Zuordnung

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\text{Hom}}_{S}(T,Q)\to \tilde{Q}(T), & h\mapsto {h}^{\#}(\pi )\end{array}\end{eqnarray}

bijektiv ist. Anschaulich ausgedrückt: Jede Familie von Quotienten über einem beliebigen S-Schema T entsteht aus π durch eine eindeutig bestimmte ”Parametersubstitution“ h : T → Q.

Die Existenz solcher universeller Quotienten wurde durch Grothendieck bewiesen, unter der Voraussetzung, daß X ein projektives Schema über S ist. Durch eine projektive Einbettung erhält man ausgezeichnete Geradenbündel

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}(n)={{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}{(1)}^{\otimes n}, & {{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}(1)={q}_{T}^{* }({{\mathcal{O}}}_{X}(1)).\end{array}\end{eqnarray}

Sei \( {\mathcal F} (n)= {\mathcal F} {\otimes }_{{{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}}{{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}(n)\). Für jeden Quotienten ℰ_T → ℱ erhalten wir dann eine disjunkte Zerlegung von T in offene Unterschemata T = ∪T_P so, daß auf T_P die Funktionen t ↦ χ (X_t, ℱ_t (n)) konstante Werte P(n) haben. Die Funktion n ↦ P(n) ist dann das Hilbert-Polynom von ℱ_t.

Eine genauere Existenzaussage ist, daß für jede vorgegebene polynomiale Funktion P : ℤ → ℤ ein universeller Quotient \( {\mathcal F} ={{\mathcal E} }_{{Q}_{P}}/ {\mathcal H} \) mit einem projektiven S-Schema Q_P als Parameterschema existiert, der alle Quotienten mit P als Hilbert-Polynom parametrisiert.

Die Existenz von Quot-Schemata ist von Nutzen beim Nachweis der Existenz von gewissen Modulräumen mit der Eigenschaft, projektiv oder quasiprojektiv zu sein.

Beispiel: Sei S = Spec(A) und

\begin{eqnarray}X={{\mathbb{P}}}_{A}^{n}=\Pr \text{oj}A[{T}_{0},\ldots,{T}_{n}].\end{eqnarray}

Das Polynom

\begin{eqnarray}P:n\mapsto \left(\begin{array}{c}n+N\\ N\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n-d+N\\ N\end{array}\right)\end{eqnarray}

ist das Hilbert-Polynom einer Hyperfläche vom Grad d des N-dimensionalen projektiven Raumes. Ein homogenes Polynom vom Grad d hat die Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{|\alpha |=d}{u}_{\alpha }{T}^{\alpha }\end{eqnarray}

mit α = (α₀, …, α_N), |α| = α₀ + ··· + α_N, und

\begin{eqnarray}{T}^{\alpha }={T}_{0}^{{\alpha }_{0}}{T}_{1}^{{\alpha }_{1}}\cdots {T}_{N}^{{\alpha }_{N}}.\end{eqnarray}

Es seien {U_α, |α| = d} Variable,

\begin{eqnarray}H=\text{Proj}(A[{U}_{\alpha }||\alpha |=d])\cong {{\mathbb{P}}}_{A}^{M}\end{eqnarray}

mit \(M=\left(\begin{array}{c}N+d\\ N\end{array}\right)-1\) ), \(F=\displaystyle {\sum }_{|\alpha |=d}{U}_{\alpha }{T}^{\alpha }\) das ”universelle Polynom vom Grad d“,

\begin{eqnarray}{\mathcal{G}}={{\mathcal{O}}}_{X\times {S}^{H}}(-d,-1)F\subset {{\mathcal{O}}}_{X\times {S}^{H}}\end{eqnarray}

(mit

\begin{eqnarray}{{\mathcal{O}}}_{X\times {S}^{H}}(-d,-1)=p* {{\mathcal{O}}}_{X}(-d)\otimes {{\mathcal{O}}}_{X\times {S}^{H}}q* {{\mathcal{O}}}_{H}(-1)),\end{eqnarray}

sowie p, q die Projektionen von X ×_S H auf X, H.

Dann ist H = Hilb_P (X/S), und \({{\mathcal{O}}}_{X\times {S}^{H}}/{\mathcal{G}}\) der universelle Quotient.

Im allgemeinen ist die Konstruktion von Hilb_P bzw. Q_P nicht so konstruktiv. Sie benutzt die Existenz von Regularitätsschranken kohärenter Garben, d. h. von Schranken m₀, die nur von ℰ und dem Polynom P abhängig sind, so daß für m ≥ m₀ die Garben ℰ_t (m), 𝒢(m), ℱ(m) (für ℱ = ℰ_t/𝒢 mit Hilbert-Polynom P) global erzeugt sind und triviale Kohomologie haben.

Im Falle X = ℙⁿ × S, \(E={{\mathcal{O}}}_{X}^{r}\) (der allgemeine Fall läßt sich darauf zurückführen) ist dann p_∗ℰ(m) lokal freie Garbe, (p_T)_*(ℰ(m)_T) = (p_*ℰ(m))_T, und für jeden Quotienten \( {\mathcal F} ={{\mathcal E} }_{T}/{\mathcal{G}}\in \tilde{Q}(T)\) erhält man eine exakte Folge

\begin{eqnarray}\begin{array}{llll}0 & \to & p{r}_{* }{\mathcal{G}}(m)\to {({p}_{* } {\mathcal E} (m))}_{T} & (1)\\ & \to & {p}_{* } {\mathcal F} (m)\to 0 & \end{array}\end{eqnarray}

mit lokal freiem p_∗ ℱ(m).

Die Untergarbe 𝒢 ist durch diese Folge eindeutig bestimmt (als Bild der natürlichen Abbildung

\begin{eqnarray}{p}_{T}^{* }(p{T}_{* }{\mathcal{G}}(m))\otimes {{\mathcal{O}}}_{{X}_{T}}(-m)\to {{\mathcal E} }_{T}).\end{eqnarray}

Mit der Bezeichnung 𝒮_m = p_∗ ℰ(m) läßt sich (1) als S-Morphismus T → Grass_P(m)(S_m) interpretieren. Für die universelle Familie erhält man so eine Einbettung Q_P ⊂ Grass_P(m)(𝒮_m).

Umgekehrt kann man auf diese Weise die Existenz einer universellen Familie nachweisen, ausgehend von G = Grass_P(m)(𝒮_m) und dem universellen Unterbündel I_m ⊂ (𝒮_m)_G. Dies liefert eine Untergarbe

\begin{eqnarray}{\mathcal{G}}=\text{Bild von}\,{p}_{G}^{* }{I}_{m}\otimes {{\mathcal{O}}}_{{X}_{G}}(-m)\to {{\mathcal E} }_{G},\end{eqnarray}

und es ist zu zeigen, daß die Bedingungen ”ℰ_G/𝒢 ist flach und hat das Hilbert-Polynom P“ auf einem eindeutig bestimmten abgeschlossenen Unterschema Q_P ⊂ G erfüllt ist.

Trotz dieses wenig konstruktiven Zugangs kann man die funktorielle Beschreibung benutzen, um lokale Eigenschaften von Q_P herzuleiten, z. B. ist für einen Punkt q ∈ Q, der dem Quotienten ℰ_t/𝒢 = ℱ (t = Spec(k) → S) entspricht, der Zariskische Tangentialraum durch T_q(Q/S) ≅ Hom(𝒢, ℱ) gegeben, und es sind gewisse Klassen in Ext¹(𝒢, ℱ) definiert, deren Verschwinden äquivalent zur Glattheit von Q → S in q ist. Insbesondere folgt aus Ext¹ (𝒢, ℱ) = 0 die Glattheit.

Es gibt komplexanalytische Analoga, allerdings versagen dort die projektiven Methoden. Das Analogon des Hilbert-Schemas ist unter dem Namen Douady-Raum bekannt.