das Umformen von z⁷¹ Ungleichungen in andere Ungleichungen, meist mit dem Ziel des Vereinfachens und Lösens von Ungleichungen.

Man unterscheidet dabei zwischen äquivalenten Umformungen, bei denen sich die Lösungsmenge der Ungleichung nicht ändert, und nicht-äquivalenten Umformungen, die die Lösungsmenge möglicherweise ändern. Bezeichnet \({{\mathbb{L}}}_{D}(U)\) die Lösungsmenge einer Ungleichung U mit Definitionsbereich D, so gilt für Ungleichungen U₁, U₂ mit gleichem Definitionsbereich D: \begin{eqnarray}{U}_{1}{\sim}_{D}{U}_{2}\iff {{\mathbb{L}}}_{D}({U}_{1})={{\mathbb{L}}}_{D}({U}_{2})\end{eqnarray} Ist der Definitionsbereich aus dem Zusammenhang ersichtlich, so kann man ~ anstelle von ~_D schreiben. Meist wird der Definitionsbereich einer Ungleichung maximal, also gleich dem Schnitt der Definitionsbereiche der beteiligten Terme, gewählt.

Sind T₁ und T₂ Terme, und bezeichnet ~ die Äquivalenz von Ungleichungen, so gilt: \begin{eqnarray}({T}_{1}\lt{T}_{2})\sim({T}_{2}\gt{T}_{1})\end{eqnarray} Ist T ein weiterer Term, dessen Definitionsbereich den der Ungleichung T₁ < T₂ enthält, so hat man: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim({T}_{1}+T\lt {T}_{2}+T)\\ ({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim({T}_{1}-T\lt {T}_{2}-T)\end{array}\end{eqnarray} Ist außerdem T auf dem Definitionsbereich der Ungleichung T₁ < T₂ stets (d. h. beim Einsetzen jedes Elements des Definitionsbereichs der Ungleichung) positiv, so gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim({T}_{1}.T\lt {T}_{2}.T)\\ ({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim({T}_{1}/T\lt {T}_{2}/T)\end{array}\end{eqnarray} Ist hingegen T auf dem Definitionsbereich der Ungleichung T₁ < T₂ stets negativ, so gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}({T}_{1}\lt{T}_{2})\sim({T}_{1}.T\gt{T}_{2}.T)\\ ({T}_{1}\lt{T}_{2})\sim({T}_{1}/T\gt{T}_{2}/T)\end{array}\end{eqnarray} Hieraus erhält man, wenn T₁ und T₂ auf dem Definitionsbereich der Ungleichung T₁ < T₂ stets positiv sind: \begin{eqnarray}({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim(1/{T}_{2}\lt 1/{T}_{1})\end{eqnarray} Allgemein gilt für jede auf den Wertebereichen von T₁ und T₂ definierte streng isotone reellwertige Funktion f: \begin{eqnarray}({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim(f({T}_{1})\lt f({T}_{2}))\end{eqnarray} Sind noch Terme S₁, S₂ gegeben, so hat man: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{T}_{1}\sim{S}_{1}\\ {T}_{2}\sim{S}_{2}\end{array}\}\Rightarrow ({T}_{1}\lt {T}_{2})\sim({S}_{1}\lt {S}_{2})\end{eqnarray} Oft muß man den Definitionsbereich verkleinern, um eine Ungleichung U weiter vereinfachen zu können (etwa, um durch einen Term teilen zu können). Hierfür gilt \begin{eqnarray}{{\mathbb{L}}}_{D}(U)={{\mathbb{L}}}_{D\backslash L}(U)\cup L\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,\,\, L\subset {{\mathbb{L}}}_{\text{D}}(\text{U}).\end{eqnarray} Hat man eine Darstellung \(D=\mathop{\cup }\limits_{\delta \in {\mathbb{D}}}\delta \), so gilt \begin{eqnarray}{{\mathbb{L}}}_{D}(U)=\mathop{\cup }\limits_{\delta \in {\mathbb{D}}}{{\mathbb{L}}}_{\delta }(U).\end{eqnarray} Ähnliche Zusammenhänge hat man auch für Ungleichungen mit ≤ anstelle von <. So gilt etwa für jede auf den Wertebereichen von T₁ und T₂ definierte streng isotone reellwertige Funktion f: \begin{eqnarray}({T}_{1}\le {T}_{2})\sim(f({T}_{1})\le f({T}_{2}))\end{eqnarray} Für nur isotone Funktionen f ist der Übergang von T₁ ≤ T₂ zu f(T₁) ≤f(T₂) i. allg. eine nichtäquivalente Umformung, bei der die Lösungsmenge möglicherweise vergrößert wird. Dann muß man für die hinzugekommenen Lösungselemente ‚eine Probe machen‘, d. h. prüfen, ob sie die Ausgangsungleichung wirklich lösen.

Ungleichungen mit < und mit ≤ hängen wie folgt zusammen: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}\le {T}_{2})={{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}\lt {T}_{2})\mathop{\cup }\limits^{}{{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}={T}_{2})\\ {{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}\lt {T}_{2})={{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}\le {T}_{2})\backslash {{\mathbb{L}}}_{D}({T}_{1}={T}_{2})\end{array}\end{eqnarray} Für den Übergang von der einen zur anderen Ungleichunsart wird man daher auch die Regeln für das Rechnen mit Gleichungen heranziehen.