behandelt folgende Fragestellung: Gegeben sei eine kompakte Menge K ⊂ ℝ und eine auf K holomorphe Funktion f, d. h., es existiert eine offene Menge U ⊂ ℝ mit U ⊃ K und eine in U holomorphe Funktion g mit g(z) = f(z) für alle z ∈ K. Weiter sei D ⊂ ℝ eine offene Menge mit D ⊃ K. Existiert eine Folge (f_n) von in D holomorphen Funktionen, die auf K gleichmäßig gegen f konvergiert?

Schon das einfache Beispiel \(K=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|=1\}, D={\mathbb{C}}\) und \(f(z)=\frac{1}{z}\) zeigt, daß dies nicht immer der Fall sein muß. Eine positive Antwort liefert der Approximationssatz von Runge (Runge, Approximationssatz von). Im folgenden wird ein konstruktiver Beweis dieses Satzes skizziert.

Zunächst wird die sog. Cauchysche Integralformel für Kompakta benötigt.

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und D ⊂ ℂ eine offene Menge mit D ⊃ K.

Dann existieren endlich viele verschiedene, orientierte, horizontale oder vertikale Strecken σ₁,…,σ_n gleicher Länge in D \ K derart, daß für jede in D holomorphe Funktion f gilt \begin{eqnarray}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\mathop{\sum ^{n}}\limits_{\nu =1}\mathop{\int }\limits_{{a}_{\nu }}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta,\quad z\in K.\end{eqnarray}

Weiterhin gilt folgender Hilfssatz.

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und σ eine orientierte Strecke in ℂ mit σ ∩ K = ∅. Weiter sei h : σ → ℂ eine auf σ stetige Funktion. Dann existiert zu jedem ε > 0 eine rationale Funktion r der Form \begin{eqnarray}r(z)=\mathop{\sum ^{m}}\limits_{\mu =1}\frac{{c}_{\mu }}{z-{\omega }_{\mu }}\end{eqnarray}mit \(m\in {\mathbb{N}},{c}_{1},\ldots, {c}_{m}\in {\mathbb{C}},{w}_{1},\ldots, {w}_{m}\in {\mathbb{C}}\backslash \sigma \)derart, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\left|\mathop{\displaystyle\int }\limits_{\sigma }\displaystyle\frac{h(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta -r(z)\right|\lt \varepsilon,\quad z\in K.\end{array}\end{eqnarray}

Kombiniert man diesen Hilfssatz mit der Integralformel (1), so erhält man das grundlegende Approximationslemma.

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und D ⊂ ℂ eine offene Menge mit D ⊃ K.

Dann existieren endlich viele verschiedene, orientierte, horizontale oder vertikale Strecken σ₁,…,σ_n gleicher Länge in D \ K mit folgender Eigenschaft : Zu jeder in D holomorphen Funktion f und zu jedem ε > 0 gibt es eine rationale Funktion r der Form \begin{eqnarray}r(z)=\mathop{\sum ^{k}}\limits_{k=1}\frac{{c}_{k}}{z-{\omega }_{k}}\end{eqnarray}mit \(k\in {\mathbb{N}},{c}_{1},\ldots, {c}_{k}\in {\mathbb{C}}\), und \begin{eqnarray}{\omega }_{1},\ldots, {\omega }_{k}\in {\mathbb{C}}\backslash \mathop{\mathop{\bigcup }\limits^{n}}\limits_{\nu =1}{\sigma }_{\nu }\end{eqnarray}derart, daß \begin{eqnarray}|f(z)-r(z)|\lt \varepsilon,\quad z\in K.\end{eqnarray}

Benutzt man schließlich noch den Polstellenverschiebungssatz, so liefert das Approximationslemma den Approximationssatz von Runge.

Eine Verschärfung dieses Ergebnisses liefert der Hauptsatz der Runge-Theorie.

Es sei K ⊂ ℂ eine kompakte Menge und D ⊂ ℂ eine offene Menge mit D ⊃ K. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: