lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Randbedingungen dritter Art.

Es seien J = [a, b], p ∈ C¹ (J), q, f ∈ C⁰ (J) reellwertige Funktionen, p > 0 in J. Mit den normierten Randbedingungen \begin{eqnarray}{\alpha}_{1}^{2}+{\alpha}_{1}^{2}\gt 0,\quad {\beta}_{1}^{2}+{\beta}_{2}^{2}\gt 0\end{eqnarray}

hat das Sturm-Liouvillesche Randwertproblem folgende Gestalt: \begin{eqnarray}\begin{array}{rl}Lu & :=(p{u}{^{\prime}}{)}{^{\prime}}(x)+q(x)u(x)=f(x),\\ {R}_{1}u & :={\alpha}_{1}u(a)+{\alpha}_{2}{u}{^{\prime}}(a)={\nu}_{1},\\ {R}_{2}u & :={\beta}_{1}u(b)+{\beta}_{2}{u}{^{\prime}}(b)={\nu}_{2}.\end{array}\end{eqnarray}

Den Operator L bezeichnet man auch als Sturm-Liouville-Operator.

Randwertprobleme dieser Art sind selbstadjungiert (selbstadjungierte Differentialgleichung). Es gilt der Satz:

Sei u₁, u₂ein Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung Lu = 0. Dann gilt: Das inhomogene Randwertproblem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn \begin{eqnarray}\det \left(\begin{array}{cc}{R}_{1}{u}_{1} & {R}_{1}{u}_{2}\\ {R}_{2}{u}_{1} & {R}_{2}{u}_{2}\end{array}\right)\ne 0.\end{eqnarray}

Die homogene Randwertaufgabe hat in diesem Fall nur die triviale Lösung.

[1] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1976.