Vervollständigung des algebraischen Tensorprodukts zweier Hilberträume unter einer geeigneten Norm.

Seien H und K Hilberträume. Auf dem algebraischen Tensorprodukt H ⊗ K betrachtet man das Skalarprodukt \begin{eqnarray}\left\langle \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{u}_{i}\otimes {\upsilon}_{i},\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{x}_{j}\otimes {y}_{j}\right\rangle =\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{\langle {u}_{i},{x}_{j}\rangle}_{H}{\langle {\upsilon}_{i},{y}_{j}\rangle}_{K}.\end{eqnarray}

Damit wird H ⊗ K zu einem Prä-Hilbertraum, dessen Vervollständigung mit \(H{\hat{\otimes}}_{2}K\) bezeichnet werde. Der Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren HS(H, K) ist zu \(H{\hat{\otimes}}_{2}K\) isometrisch isomorph; der Isomorphismus ist die kanonische Fortsetzung von \(\Phi :H{\hat{\otimes}}_{2}K\to \text{HS}(H,K)\), \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{u}_{i}\otimes {\upsilon}_{i}\mapsto \left(x\mapsto \displaystyle \sum _{i=1}^{n}\langle x,{u}_{i}\rangle {\upsilon}_{i}\right).\end{eqnarray}

Sind H und K L² -Räume, so gilt \begin{eqnarray}{L}^{2}(\mu){\hat{\otimes}}_{2}{L}^{2}(\nu)={L}^{2}(\mu \otimes \nu).\end{eqnarray}

[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press, 2. Auflage 1980.