Maßzahl für die mittlere quadratische Abweichung einer reellen Zufallsvariablen von ihrem Verteilungsschwerpunkt.

Ist X eine auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega}},\ {\mathfrak{A}},\ P)\) definierte reelle Zufallsvariable mit endlichem zweiten Moment, d. h. E(X²) < ∞, so heißt die durch \begin{eqnarray}Var(X):=E({[X-E(X)]}^{2})\end{eqnarray} definierte Zahl die Varianz von X. Die Varianz ist also das zweite zentrale Moment von X. Die positive Wurzel \(\sigma (X):=+\sqrt{Var(X)}\) aus der Varianz nennt man die Standardabweichung oder Streuung von X. In einigen von der russischen Schule der Wahrscheinlichkeitstheorie beeinflußten Lehrbüchern wird die Bezeichnung Streuung aber auch für die Varianz verwendet.

Ist die Zufallsvariable X diskret, so kann die Varianz von X mit der Formel \begin{eqnarray}Var(X)=\displaystyle \sum _{{x}_{i}}{({x}_{i}-\mu)}^{2}P(X={x}_{i})\end{eqnarray} berechnet werden, wobei μ den Erwartungswert von X bezeichnet, und sich die Summation über die Werte x_i aus dem Bild von X mit P(X = x_i) > 0 erstreckt. Ist die Zufallsvariable X stetig mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f_X und Erwartungswert μ, so kann die Varianz entsprechend über die Formel \begin{eqnarray}Var(X)=\displaystyle \underset{-\infty}{\overset{\infty}{\int}}{(x-\mu)}^{2}{f}_{X}(x)dx\end{eqnarray} bestimmt werden.

Für beliebige a ∈ ℝ gilt der sogenannte Verschiebungssatz \begin{eqnarray}E({[X-a]}^{2})=Var(X)+{(a-E(X))}^{2},\end{eqnarray} aus dem insbesondere für a = 0 die für die Berechnung der Varianz günstige Formel \begin{eqnarray}Var(X)=E({X}^{2})-E{(X)}^{2}\end{eqnarray} folgt. Für beliebige a, b ∈ ℝ gilt weiterhin \begin{eqnarray}Var(aX+b)={a}^{2}Var(X).\end{eqnarray}

Die Varianz der Summe von zwei reellen Zufallsvariablen X₁ und X₂ mit den Varianzen Var(X₁) und Var(X₂) ist genau dann gleich der Summe der Varianzen der Zufallsvariablen, wenn X₁ und X₂ unkorreliert sind. Für unabhängige Zufallsvariablen X₁ und X₂ gilt also insbesondere Var(X₁ + X₂) = Var(X₁) + Var(X₂).

In Anlehnung an die Mechanik interpretiert man die Varianz auch als Trägheitsmoment einer Massenverteilung bezüglich ihres Schwerpunktes.