Vektorbündel, ein gefaserter topologischer Raum π : V → B, derart, daß jede Faser V_b = π⁻¹(b); b ∈ B; ein endhchdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum N, und die Faserung lokal-trivial ist.

Dies bedeutet: V und B sind topologische Räume und π ist eine stetige surjektive Abbildung. V heißt TotaIraum und B Basis des Vektorraumbündels. Jeder Punkt b ∈ B der Basis besitzt eine offene Umgebung U ⊆ B, und es gibt einen Vektorraum N, derart, daß π⁻¹(U) ⊆ V linear isomorph als Faserbündel zu U × N ist. Der lokale lineare Isomorphismus kann gegeben werden durch ϕ_U : π⁻¹ (U) → U × N, so daß p₁ ○ ϕ_U = π gilt (p₁U × W → U sei die Projektion auf die erste Komponente des Produkts)

Linearität bedeutet die Forderung, daß \begin{eqnarray}{\phi}_{U|{\pi}^{-1}{(b)}^{\to}\{b\}\times N}\end{eqnarray} ein linearer Isomorphismus ist. Die Wahl einer solchen Menge U und der Abbildung ϕ_U nennt man eine lokale Trivialisierung des Bündels V bei b.

Meist wird die Basis als zusammenhängend angenommen. In diesem Fall folgt automatisch, daß die Dimension des Vektorraums V_b unabhängig vom Basispunkt b ist. Diese Dimension heißt Rang oder Dimension des Vektorraumbündels. Vektorraumbündel vom Rang 1 heißen Geradenbündel (manchmal auch Linienbündel genannt).

Seien π_V : V → B und π_W : W → B Vektorraumbündel über derselben Basis B. Eine stetige Abbildung ϕ : V → W heißt Vektorraumbündelmorphismus (oder einfach Vektorbündelmorphismus), falls

1. das folgende Diagramm kommutiert:

   

   d. h., es gilt π_Wφ = π_V, bzw. die Faser V_b, wird nach der Faser W_b, abgebildet, und
2. die Faserabbildung φ|V_b : V_b → W_b, linear ist.

Sei π : V → B ein Vektorraumbündel. Eine Teilmenge V′ ⊆ V heißt Unterbündel, falls π′ = π_|V′ : V′ → B ein Vektorraumbündel ist, und jede Faser π⁻¹(b) ∩ V′ ein Untervektorraum von V_b, ist. Ist ein solches Unterbündel gegeben, dann trägt der topologische Raum, den man durch faserweise Quotientenbildung erhält, eine kanonische Vektorraumbündelstruktur V/V′ → B. Dieses Bündel heißt Quotientenbündel.

Alle universellen Konstruktionen für Vektorräume, wie etwa Summe, Tensorprodukt, symmetrisches Produkt, Dualraum, äußeres Produkt, Homomorphismen zwischen zwei Vektorräumen, etc., haben ihre Entsprechung bei den Vektorraumbündeln durch „faserweise Definition“. Die Konstruktion erfolgt mit den lokalen Trivialisierungen. Dies sei für den Fall der Summe V ⊗ W näher erläutert. Sei U eine genügend klein gewählte offene Menge, über der die Bündel V und W gemeinsam trivialisieren. Ist etwa das Bündel V lokal isomorph zu U × N und W lokal isomorph zu U × M, dann ist die Vektorraumbündelsumme V ⊕ W das Bündel, das lokal isomorph zu U × (N⊕M) ist. Diese Summe heißt manchmal auch Whitney-Summe.

Sind f : B′ → B eine stetige Abbildung und π : V → B eine Vektorraumbündel über B, so ist dadurch kanonisch das Pullbackbündel f*V → B′ gegeben. Es wird lokal wie folgt erhalten. Ist V lokal isomorph über U ⊆ B zum trivialen Bündel U × N, so ist f*V lokal isomorph zum Bündel f⁻¹(U) × N über f⁻¹(U) ⊆ B. Anschaulich: über dem Punkt b′ ∈ B′ wird der Vektorraum \({V}_{f(b^{\prime})}\) „angeheftet“.

Ein Vektorraumbündel V vom Rang n kann durch einen stetigen 2-Kozykel mit Werten in der Gruppe GL(n, ℝ) bzw. GL(n, ℂ) gegeben werden. Sei \({\{{U}_{i}\}}_{i\in J}\) eine offene Überdeckung von B, derart daß V über jedem U_i trivial wird, und seien \begin{eqnarray}{\psi}_{i}:{\pi}^{-1}({U}_{i})\to {U}_{i}\times N\end{eqnarray} fest gewählte Trivialisierungsabbildungen. Ist \({U}_{i}\mathop{\cap}\limits^{}{U}_{J}\ne \varnothing \), so existieren durch Einschränkung auf die Schnittmenge zwei Trivialisierungsabbildungen ψ_j und ψ_i.

Die Abbildung \begin{eqnarray}{\psi}_{i}\,\circ\,{\psi}_{j}{}^{-1}:({U}_{i}\cap {U}_{j})\times N\to ({U}_{i}\cap {U}_{j})\times N\end{eqnarray}

1. ψ_ii = I_n,
2. ψ_ijψ_ji = I_n auf U_i ∩ U_j ≠ ø,
3. ψ_ijψ_jk = ψ_ik auf U_i ∩ U_j ∩ U_k ≠ ø. (In ist die n-dimensionale Einheitsmatrix).

Zwei 2-Kozykel (ψ_ij) und \(({\psi}^{\prime}_{ij})\) heißen kohomolog, falls es stetige Funktionen \begin{eqnarray}\begin{array}{*{35}{l}}{{\varphi}_{i}}:{{U}_{i}}\to \,\,\text{GL}\left(n,\mathbb{R} \right), & \text{bzw}\text{.} \\{{\varphi}_{i}}:{{U}_{i}}\to \,\,\text{GL}\left(n,\mathbb{C} \right), & {} \\ \end{array}\end{eqnarray} für alle i ∈ J gibt mit \begin{eqnarray}\psi _{ij}^{\prime}={{\varphi}_{i}}{{\psi}_{ij}}{{\varphi}_{j}}^{-1}\,\,\text{auf}\,\,{{\text{U}}_{i}}\cap {{\text{U}}_{j}}.\end{eqnarray} Bei Wahl einer anderen Trivialisierungsabbildung ψ_i wird ein kohomologer Kozykel erhalten.

Umgekehrt wird durch die Vorgabe einer Überdeckung {U_i}_i∈j von B und eines zugeordneten 2-Kozykels (ψ_ij) von stetigen Funktionen durch Zusammenkleben der U_i × ℝⁿ (bzw. U_i × ℂⁿ) entlang der U_i ∩ U_j mit Identifikation der Fasern über x ∈ U_i ∩ U_j mit Hilfe der Matrizen ψ_ij(x) ein Vektorraumbündel definiert.

Ist ein Vektorraumbündel π : V → B vom Rang n gegeben, dann ist für jede offene Teilmenge U ⊆ B die Menge der Schnitte \({\mathcal{V}}(U)\) über U definiert als \begin{eqnarray}\mathcal{V} \left(U \right):=\left\{s:U\to V\left|\, s\,\text{ist}\,\text{stetig}\,\text{,} \right.\,\,\pi \circ s=\text{i}{{\text{d}}_{U}} \right\}.\end{eqnarray} Dies bedeutet insbesondere, daß der Schnitt den Basispunkt in seine Faser abbildet: s(b) ∈ V_b. Durch faserweise Addition und Multiplikation mit Skalaren wird \({\mathcal{V}}(U)\) ein Vektorraum, der meist unendlichdimensional ist. Durch Multiplikation mit den Elementen des Rings der stetigen Funktionen C(U) auf U mit Werten im Körper, der dem Vektorraum zugrunde liegt, wird \({\mathcal{V}}(U)\) sogar zu einem Modul über C(U). Ist U eine Menge, über der das Bündel trivial ist, dann ist \({\mathcal{V}}(U)\) ein freier Modul vom Rang n über C(U).

Der Raum \({\mathcal{V}}(B)\) heißt Raum (oder Modul) der globalen Schnitte des Vektorraumbündels V. Das System der \(U\to {\mathcal{V}}(U)\) definiert eine Garbe von Vektorräumen bzw. eine Garbe von Moduln über der Garbe der stetigen Funktionen auf B. Als Garbe von Moduln ist sie lokalfrei vom Rang n (die Basis B sei als zusammenhängend vorausgesetzt).

Garben sind allgemeinere Objekte, die allerdings innerhalb der Theorie der Vektorraumbündel ebenfalls benötigt werden. Ist etwa φ : V → W ein Vektorraumbündelmorphismus, so ist die Teilmenge \begin{eqnarray}\text{Kern}\,\varphi \,\text{:=}\bigcup\limits_{b\in B}{\text{Kern}\,{{\varphi}_{\left| {{V}_{b}} \right.}}}\end{eqnarray} im allgemeinen kein Unterbündel von V. Die Dimension des faserweisen Kerns Kern ψ|V_b kann springen. Lediglich wenn dessen Dimension konstant entlang der Basis ist, ist Kern ψ ein Unterbündel. In diesem Fall besitzt das faserweise Bild auch konstante Dimension, und \begin{eqnarray}\text{Bild}\,\varphi \,\text{:=}\bigcup\limits_{b\in B}{\text{Bild}\,{{\varphi}_{\left| {{V}_{b}} \right.}}}\end{eqnarray} ist ein Unterbündel von W. Es gilt der Isomorphiesatz \begin{eqnarray}V/\text{Kern}\,\varphi \cong \text{Bild}\,\varphi \text{.}\end{eqnarray} Ohne die Konstanz der Dimension sind Kern φ, Bild ψ und der Quotient nur im Sinne der (nicht notwendig lokalfreien) Garben definiert. Hierbei identifiziert man die Vektorraumbündel mit ihren lokalfreien Garben von Schnitten.

Alles, was hier für topologische Vektorraumbündel durchgeführt wurde, kann in völlig analoger Weise für differenzierbare Vektorraumbündel über differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, für holomorphe Vektorraumbündel über komplexen Mannigfaltigkeiten, und für algebraische Vektorraumbündel über algebraischen Varietäten gemacht werden. Die beteiligten Abbildungen sind in der jeweiligen Kategorie zu wählen. Ein wichtiges differenzierbares Vektorraumbündel wird für jede differenzierbare Mannigfaltigkeit durch das Tangentialbündel gegeben.