Sätze über die Vervollständigung bestimmter Räume.

Ist M ein metrischer Raum mit einer Metrik d, dann heißt M vollständig, falls jede Cauchy-Folge in M konvergiert. Dabei nennt man eine Folge (x_n) in M eine Cauchyfolge, falls für jedes ε > 0 ein n_ε ∈ ℕ existiert, so daß d(x_n, x_m) < ε ist für alle n, m > n_ε. Bei der Vervollständigung eines Raumes geht es nun darum, einen vollständigen Raum gleicher Struktur zu finden, der den gegebenen Raum als dichte Teilmenge enthält.

Für metrische Räume gilt der folgende Vervollständigungssatz.

Zu jedem unvollständigen metrischen Raum M gibt es einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten vollständigen metrischen Raum \(\tilde{M}\), in dem M dicht liegt und der auf M die ursprüngliche Metrik von M induziert. \(\tilde{M}\)heißt die Vervollständigung oder die vollständige Hülle von M.

Ein analoger Satz gilt für normierte Räume.

Zu jedem unvollständigen normierten Raum V gibt es einen bis auf Normisomorphie eindeutig bestimmten Banachraum \(\tilde{V},\)so daß V ein in \(\tilde{V},\)dicht liegender Unterraum ist. \(\tilde{V},\)heißt die Vervollständigung oder die vollständige Hülle von V.

Lineare stetige Abbildungen zwischen normierten Räumen lassen sich normerhaltend auf die Vervollständigungen fortsetzen.

Es seien V und W normierte Räume und \(\tilde{V},\)und \(\tilde{W},\)ihre Vervollständigungen. Ist dann T : V → W linear und stetig, so gibt es genau eine lineare stetige Abbildung \(\tilde{T}:\tilde{V}\to \tilde{W}\,\,{mit}\,\,\tilde{T}(x)=T(x)\)für alle x ∈ V. Weiterhin ist \(||\tilde{T}||=||T||.\)

Prä-Hilberträume lassen sich zu Hilberträumen vervollständigen.

Zu jedem unvollständigen Prä-Hilbertraum H gibt es einen bis auf Normisomorphie eindeutig bestimmten Hilbertraum \(\tilde{H},\)so daß H ein in \(\tilde{H},\)dicht liegender Unterraum ist. Insbesondere wird das Skalarprodukt auf H von dem Skalarprodukt auf \(\tilde{H},\)induziert.

Will man auch einen Vollständigkeitsbegriff für topologische Vektorräume definieren, so kann man nicht mehr auf Cauchy-Folgen zurückgreifen, sondern muß den Vollständigkeitsbegriff mit Hilfe von Cauchy-Filtern definieren. Dabei heißt ein Filter \({\mathcal{G}}\) ein Cauchy-Filter, falls \({\mathcal{G}}-{\mathcal{G}}\to 0\) gilt. Ein topologischer Vektorraum heißt dann vollständig, falls jeder Cauchy-Filter konvergiert. Es gilt der Vervollständigungssatz:

Zu jedem unvollständigen topologischen Vektorraum V gibt es genau einen vollständigen topologischen Vektorraum \(\tilde{V},\)in dem V dicht liegt, und der aufV die ursprüngliche Topologie von V induziert. \(\tilde{V}\)heißt die Vervollständigung oder die vollständige Hülle von V.