WM-Frage: Wie viel Prozent einer Mannschaftskabine lassen sich durch eine optimale Stapelung von Fußbällen ausfüllen?

a) 52
b) 68
c) 74
d) 86

Antwort:

Die Mannschaftskabine lässt sich maximal zu etwa 74 Prozent mit Fußbällen ausfüllen.

Erklärung:

Gehen wir einmal von dem idealisierten Fall aus, dass die Mannschaftskabinen beim Fußball sehr groß und gänzlich leer sind, sodass sich die Bälle in beliebiger Weise stapeln lassen. Möglichkeiten dies zu tun, gibt es unendlich viele, doch nur einige davon nutzen den Raum auch wirklich gut aus:

Die vielleicht einfachste Möglichkeit, Kugeln beziehungsweise Bälle zu stapeln, ist das kubische Gitter: Dazu stelle man sich den Raum dicht an dicht mit Würfeln gefüllt vor, deren Kantenlänge gerade dem Durchmesser eines Fußballs entspricht. Die Eckpunkte bilden dabei jeweils den Mittelpunkt eines Balls, sodass also in jedem Würfel 8 mal ein 1/8 Fußball stecken. Damit ergibt sich eine Füllung von ungefähr 52 Prozent, wie man leicht errechnen kann:

VKugel/VQuadrat = (4πr3/3)/(2r)3 = π/6 ≈ 52 %
Wobei r der Radius der Bälle ist.

Eine weitere Möglichkeit ist die so genannte kubisch-raumzentrierte Stapelung (bcc, body centered cubic): Hierbei sitzen nicht nur auf den Eckpunkten des Würfels Kugeln, sondern auch in seinem Zentrum steckt eine, die die acht auf den Ecken gerade berührt. Die Kantenlänge eines solchen Würfels ist natürlich etwas größer. Die Raumdiagonale entspricht gerade zweimal dem Durchmesser eines Fußballs beziehungsweise viermal seinem Radius. Damit ergibt sich eine Kantenlänge von 4r/√3 . Da in einem Würfel genau 8 mal 1/8 plus ein weiterer Ball stecken – also 2, kommt man auf einen Füllung von etwa 68 Prozent:

VKugel/VQuadrat = (2·4πr3/3)/(4r/√3)3 ≈ 68 %

bcc-Gitter Elementarzelle der kubisch-raumzentrierten Stapelung: Die Kugeln, Fußbälle, oder beim Kristall die Atome sitzen auf den acht Ecken eines Würfels und in seinem Mittelpunkt.

68 Prozent sind schon nicht schlecht, aber es geht noch besser – und zwar mit einer kubisch-flächenzentrierten Stapelung (fcc, face centered cubic): Hier sitzt zusätzlich zu den Kugeln auf den Ecken eines Würfels je eine in der Mitte jeder Begrenzungsfläche. Die Kugeln berühren sich längs der Flächendiagonalen, deren Länge also viermal ihrem Radius entspricht. Damit ergibt sich eine Länge der Würfelkante von 4r/√2. In einem Würfel stecken dieses Mal 8 mal 1/8 Fußball plus 6 mal ein halber auf den Seitenflächen. Macht also insgesamt 4. Demzufolge ergibt sich eine Füllung von ungefähr 74 Prozent:

VKugel/VQuadrat = (4·4πr3/3)/(4r/√2)3 ≈ 74 %

fcc-Gitter Elementarzelle der kubisch-flächenzentrierten Stapelung: Die Kugeln sitzen auf den acht Ecken eines Würfels und in den sechs Mittelpunkten seiner Begrenzungsflächen.

Man kann sich die Entstehung einer kubisch-flächenzentrierten Stapelung auch etwas anders vorstellen: Dazu denke man sich eine dichtest gepackte Schicht (A), bei der jede Kugel sechs weitere Kugeln berührt. Eine zweite gleichartige Schicht (B) wird so auf die erste gesetzt, dass jede Kugel von B gerade drei Kugeln der darunter liegenden Lage A berührt. Die Kugeln von B liegen also oberhalb der Lücken von A.

Nun gibt es zwei Möglichkeiten, die Kugeln in der nächsten, dritten Schicht auf die darunter liegenden zu stapeln: Zum einen können sie genau über den Kugeln der Schicht A platziert werden – die Schichtabfolge wäre also ABABAB… –, zum anderen lassen sich die Kugeln in der dritten Schicht aber auch über den Löchern von A platzieren, die von denen der Lage B nicht bedeckt wurden. Die Stapelabfolge lautet damit ABCABC und so weiter. Diese zweite Möglichkeit entspricht nun genau der kubisch-flächenzentrierten Stapelung.

Wie sieht man das? Nun, die Stapelabfolge ABC lässt sich in Richtung der Raumdiagonalen des kubisch flächenzentrierten Gitters wiederfinden.

Die Abfolge ABA nennt man im Übrigen hexagonal-dichteste Packung (hcp, hexagonal closed packed). Sie erreicht denselben Raumfüllungsfaktor wie die fcc-Packung. Die meisten Elemente des Periodensystem bilden eine kristalline Gitterstruktur entsprechend der fcc-, bcc- oder hcp-Stapelung aus.

hcp-Gitter Hexagonal dichteste Packung: Sechs Kugeln scharen sich in einer Ebene jeweils um eine Kugel in der Mitte. Die Ebenen sind dabei in der Abfolge ABA aufeinandergestapelt, wobei die Kugeln der Ebene B über den Löchern der Ebene A liegen.

Mehr über Raumfüllungen mit anderen geometrischen Körpern erfahren Sie in unserer monatlichen Serie zur räumlichen Geometrie.