Hemmes mathematische Rätsel: Die Einwohner von Abacina
Der amerikanische Mathematiker Stanley Rabinowitz wurde 1947 in New York geboren. Seit 1963 hat er unzählige mathematische Probleme und Knobeleien erfunden und in vielen Zeitschriften veröffentlicht. Er war und ist Herausgeber mehrere Denksportkolumnen in verschiedenen Magazinen, ist Mitglied einiger Komitees für Mathematikwettbewerbe, gründete 1989 in Ashland in Ohio den Verlag MathPro Press, der mathematische Aufgabensammlungen herausgibt und hat mehrere Bücher geschrieben. Im Jahr 1983 veröffentlichte er in der Zeitschrift »Pi Epsilon Mu Journal« folgendes Problem:
In dem kleinen Dorf Abacina werden von den Einwohnern zwei verschiedene Zahlensysteme verwendet. Ein Mann aus dem Dorf erklärt einem Besucher: »26 Menschen unseres Dorfes benutzen mein Zahlensystem, das die Basis 10 hat, und nur 22 Menschen das zur Basis 14.« Ein andere Mann ergänzt: »Von allen 25 Einwohnern können 13 beide Systeme benutzen, und einer ist Innumerat und verwendet überhaupt keines.« Beide Männer haben die Wahrheit gesagt und alle Zahlenangaben in ihrem jeweiligen Zahlensystem gemacht. Wie groß ist die Zahl der Einwohner des Dorfes im Zehnersystem?
Benutzt der erste Mann, mit dem der Tourist spricht, ein Zahlensystem mit der Basis b, hat das zweite Zahlensystem, das in dem Dorf verwendet wird, die Basis b + 4.
Das Zahlensystem, das der zweite Mann benutzt, kann nicht die Basis b haben, da die Einwohnerzahl 25, die er nennt, kleiner ist, als die Zahl 26, die der erste Mann für die Benutzer der Basis b angibt. Folglich verwendet der zweite Mann die Basis b + 4.
Nach Aussage des zweiten Mannes leben in dem Dorf 25b+4 = 2(b + 4) + 5 = 2b + 13 Menschen.
Der erste Mann hingegen erklärt, dass 26b = 2b + 6 Einwohner die Basis b und 22b = 2b + 2 Einwohner die Basis b + 4 benutzen.
Der zweite Mann sagt, 13b+4 = 1(b + 4) + 3 = b + 7 Dorfbewohner verwenden beide Basen, und ein Dörfler ist Innumerat.
Folglich leben in dem Dorf (2b + 6) + (2b + 2) – (b + 7) + 1 = 3b + 2 Menschen. Dies kann mit dem ersten Ausdruck für die Einwohnerzahl gleichsetzen, und man erhält 3b + 2 = 2b + 13, was sich zu b = 11 vereinfachen lässt. Die in dem Dorf Abacina benutzten Zahlensysteme haben also die Basen 11 und 15, und es leben 35 Menschen in ihm.
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