Nennen Sie die Beträge der drei Kantenlängen \(q\), 1 und \(1/q\) und rechnen Sie dann.

Die Seitenlängen seien \(q\), 1 und \(1/q\) cm, was offensichtlich zum richtigen Volumen führt und die Forderung des geometrischen Mittels erfüllt. Wegen der Diagonale gilt dann \(1+q^2+1/q^2=4\). Das kann man in eine quadratische Gleichung für die Unbekannte \(q^2\) verwandeln und bekommt die beiden (gleichermaßen positiven) Lösungen \( q_{1} = (3 + \sqrt{5})/2 \) und \(q_2 = (3 – \sqrt{5})/2\). Zieht man aus ihnen wiederum die (positiven, denn wir suchen ja Längen) Quadratwurzeln, so gibt das die beiden Zahlen

• \(\sqrt{2,61803398875} = 1,61803398875\) und
• \(\sqrt{0,38196601125} = 0,61803398875\).

Die Oberfläche des Quaders besteht aus drei Paaren jeweils gleicher Rechtecke. Das ergibt \( 2 \cdot(q + 1 + 1/q)\), und wie es der Zufall will (Heinz Erhard hätte gesagt: Was bin ich heute wieder für ein Schelm!), ist \(q = 1+ 1/q \), jedenfalls legt der Taschenrechner diese Vermutung auf ziemlich viele Kommastellen genau nahe!

Glauben wir es vorläufig einmal: Dann ist die Oberfläche des Quaders \(4q=6,472135955 {\rm cm}^2\). Von der Umkugel kennen wir schon seit unserer Voraussetzung den Radius 1 cm, nämlich die halbe Raumdiagonale. Die Umkugel hat also die Oberfläche \(4\pi\) cm².

Nun sind aber 10 oder 12 Stellen Genauigkeit nicht vergleichbar mit absoluter Genauigkeit, was man selbst als Physiker zugeben muss.

Die gleichen Nachkommastellen unser Wurzeln (und sogar des einen Radikanden) können uns stutzig machen und kommen uns vielleicht sogar bekannt vor: Die größere der beiden Lösungen der Verhältnisgleichung \(\tau:1 = (1+\tau):\tau\), genannt "goldener Schnitt", ist \((1 + \sqrt{5})/2\( und hat den Wert 1,61803398875. \(\tau^2\) ist dann das Gleiche wie \(1+\tau = (3 + \sqrt{5})/2\(.

Die drei verschiedenen Seitenlängen des gesuchten Quaders verhalten sich also wie \(\tau : 1 : (1/\tau)\), und auch die Oberflächenberechnung mit dem Ergebnis \(2(1+\sqrt{5} )\;{\rm cm}^2\) geht exakt auf und nicht nur auf kümmerliche 12 Stellen. In die Ebene geklappt sehen die Wände des Quaders z. B. so aus: