Hemmes mathematische Rätsel: Ein Schweinerätsel
Im 9. Jahrhundert entstand im Frankenreich ein Manuskript mit dem Titel »Propositiones ad acuendos iuvenes« (Aufgaben zur Schärfung des Geistes der Jugend). Es ist die älteste mathematische Aufgabensammlung in lateinischer Sprache. Der Autor des Manuskripts ist unbekannt, aber es spricht vieles dafür, dass es von Alkuin von York (ca. 732-804) geschrieben wurde, einem englischen Gelehrten, der von 781 bis 796 am Hof Karls des Großen in Aachen lebte. Die »Propositiones« bestehen aus 53 Aufgaben, von denen die meisten zur Unterhaltungsmathematik gehören. Eine der Aufgaben handelt vom Schweineschlachten.
Ein Mann besitzt 300 Schweine und schlachtet sie alle innerhalb von drei Tagen. Dabei schlachtet er an jedem Tag eine ungerade Anzahl von Schweinen. Der Autor der »Propositiones« schreibt, dass dieses Problem unlösbar sei. Ich bin allerdings anderer Meinung: Wenn man ein wenig um die Ecke denkt, kann man durchaus eine Lösung finden. Wie sieht sie aus?
Das Problem ist im Dezimalsystem nicht lösbar, wohl aber in vielen anderen Zahlensystemen.
Nehmen wir einmal an, die Zahl 300 sei eine Zahl eines Zahlensystems mit der Basis b. Man kann sie dann in die Dezimalzahl 3 · b2 + 0 · b1 + 0 · b0 = 3 · b2 umwandeln.
Ist die Basis b ungerade, so ist auch 3 · b2 ungerade, und eine ungerade Zahl lässt sich mühelos als Summe dreier ungerader Zahlen darstellen. Ist beispielsweise b = 5, so würde die Zahl 300 des Fünfersystems der 75 des Zehnersystems entsprechen, und 75 ist 25 + 25 + 25.
Der Autor der »Propositiones« konnte diese Lösung noch nicht kennen, denn die Stellenwertsysteme waren damals noch nicht erfunden worden. Er schrieb die 300 als römische Zahl CCC, die diesen Lösungstrick nicht zulässt.
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