Treitz-Rätsel / Mathematik / 588: Ein Viereck aus Kreisen

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© Norbert Treitz
(Ausschnitt)

Beweisen Sie: Wenn man vier Kreise mit gleichen Radien durch einen gemeinsamen Schnittpunkt zeichnet, so liegen die Ecken des Vierecks aus den vier äußeren Tangenten auf einem Kreis.

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Tipp

Betrachten Sie auch das Viereck aus den Mittelpunkten der Kreise.

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Lösung

© Norbert Treitz
(Ausschnitt)
Das Viereck aus den vier Kreismittelpunkten hat offensichtlich einen Umkreis und damit (nach dem Umfangswinkelsatz) für je zwei einander gegenüberliegende Winkel die Summe 180o. Die Seiten des Vierecks aus den betrachteten Tangenten sind zu den Seiten des kleinen Vierecks parallel. Also hat das Viereck aus den Tangenten die gleichen Winkel und daher ebenfalls einen Umkreis. Beachten Sie aber, dass die beiden Vierecke nicht ähnlich zueinander sein müssen.

Ross Honsberger bringt diese Aufgabe als 10. Abschnitt in seinen "More morsels".