Treitz-Rätsel / Mathematik / 615: Lauter Fünfecke

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© Norbert Treitz
(Ausschnitt)

Wie viele regelmäßige Fünfecke und wie viele Pentagramme (fünfzackige Sternpolygone) sind hier zu sehen?

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Tipp

Alle exzentrisch liegenden Fünfecke bzw. Pentagramme kommen fünffach (oder noch öfter) vor.

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Lösung

© Norbert Treitz
(Ausschnitt)

In der gegebenen Figur gibt es fünf konzentrische regelmäßige Fünfecke (links). Die Abbildungen in der Mitte und rechts zeigen sechs weitere regelmäßige Fünfecke, die jedes fünffach (gegeneinander um 72 Grad gedreht) vorkommen, das heißt 30 weitere. Insgesamt sind in der Abbildung also 35 regelmäßige Fünfecke

© Norbert Treitz
(Ausschnitt)

und 12 Pentagramme zu sehen.

Finden Sie nicht auch, dass die Figuren nach zusätzlichen Linien schreien?

Hier sind sie mit 10 weiteren Parallelen:
© Norbert Treitz
(Ausschnitt)

Wie viele Fünfecke und Pentagramme sind es nun?

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(Ausschnitt)

Das sind erst einmal fünf konzentrische Fünfecke, dann kommen fünfmal neun auf den Symmetrieachsen

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und hier weitere zehn auf den Achsen und zehn asymmetrisch gelagerte:

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(Ausschnitt)

und noch weitere fünf auf den Achsen und fünf asymmetrisch liegende:

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(Ausschnitt)

Zusammen haben wir also immerhin 80 reguläre Fünfecke.

Und das sind drei konzentrische und fünf mal vier weitere, also zusammen 23 Pentagramme:

© Norbert Treitz
(Ausschnitt)

Natürlich haben alle Teilungen der Fünfeckseiten etwas mit dem goldenen Schnitt zu tun. Wenn Sie nun noch weitere Linien einzeichnen und die Aufgabe fortsetzen wollen, so steht dem nichts entgegen. Ein Ende ist dabei nicht abzusehen.