Treitz-Rätsel / Mathematik / 488: Viereck mit Kantenkugel

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Treitz-Rätsel
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(Ausschnitt)

Zeigen Sie: Wenn ein (nicht notwendig ebenes) Viereck mit allen vier Seiten ein und dieselbe Kugel berührt, so liegen diese Berührpunkte auf einem Kreis.

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Tipp

Punktmassen, die paarweise gemeinsame Schwerpunkte in den Berührpunkten haben.

Lösung anzeigen

Lösung

Etwas ausführlicher: Man setze Massen in die Ecken des Vierecks so, dass der gemeinsame Schwerpunkt zweier benachbarter Ecken genau in dem Punkt liegt, in dem ihre Verbindungslinie die Kugel berührt. Dazu muss man die Masse jedes Eckpunkts umgekehrt proportional zu seinem Abstand vom Berührpunkt wählen. Aber eine Ecke hat doch zwei benachbarte Berührpunkte? Richtig, aber die beiden Abstände sind gleich, denn von einem Punkt außerhalb der Kugel sind alle Tangentenabschnitte bis zum Berührpunkt gleich lang.

Man fasse nun die Massen der Ecken A und B und die der Ecken C und D jeweils in ihrem Schwerpunkt zusammen, welcher nach Konstruktion einer der Berührpunkte ist. Also liegt der Schwerpunkt aller vier Ecken auf der Geraden, die durch diese beiden gegenüberliegenden Berührpunkte geht. Dieselbe Argumentation gilt, wenn man die Ecken auf die andere Weise (A mit D, B mit C) zu Paaren zusammenfasst. Also schneiden sich die beiden Geraden durch Paare gegenüberliegender Berührpunkte, nämlich im Schwerpunkt. Uns interessiert nur, dass sie sich überhaupt schneiden und nicht etwa windschief zueinander sind. Daraus folgt nämlich, dass die vier Berührpunkte in einer Ebene liegen (und zwar der, die durch die beiden Geraden aufgespannt wird). Da sie außerdem nach Voraussetzung auf einer Kugel liegen, müssen sie auf einem Kreis liegen, was zu beweisen war.

Bisher haben wir ein (räumliches) Viereck betrachtet, also vier Ecken mit vier Seiten rundherum. In drei Dimensionen wird die Unterscheidung zwischen den (4) Seiten und den (2) Diagonalen, wie sie beim konvexen ebenen Viereck nahe liegt, offensichtlich willkürlich, und wir kommen zu dem (im Allgemeinen unregelmäßigen) Tetraeder mit seinen ebenfalls vier Ecken, aber 6 (gleichberechtigten) Kanten.

Zwar hat jedes (auch unregelmäßige) Tetraeder eine Umkugel und eine Inkugel, aber nicht unbedingt eine Kantenberührkugel. Wenn es aber auch diese hat, folgern wir aus dem Bisherigen, dass die drei Geraden durch je zwei gegenüberliegende Berührpunkte (von Kanten mit der Kugel) durch den gemeinsamen Schwerpunkt der (wie zuvor passend gemäß den Kehrwerten der Tangentenabschnitte gewichteten!) Ecken gehen. Das Oktaeder aus den 6 Berührpunkten auf der Kugel (die die Kantenkugel des Tetraeders und die Umkugel dieses Oktaeders ist) hat also einen gemeinsamen Schnittpunkt seiner drei Diagonalen. Je zwei dieser Diagonalen spannen gemeinsam ein ebenes Sehnenviereck in der Kugel auf. Allgemein muss das in einem Oktaeder nicht so sein.

3. Teil des Problems Nr. 76 in

Ross Honsberger: Gitter – Reste – Würfel: 91 mathematische Probleme mit Lösungen. Vieweg 1984. (Original: Mathematical Morsels. MAA 1978)

Honsberger nennt Murray Klamkin aus Waterloo (Kanada) als Autor.