Diese Zahl existiert und lautet 18.

Die Potenzwerte von x³ und x⁴ müssen zusammen aus genau zehn Ziffern aufgebaut sein. 

x muss größer sein als 17, denn die Potenzwerte aus 17³ = 4913 und 17⁴ = 83 521 bestehen zusammen aus lediglich neun Ziffern.

x muss kleiner sein als 22, denn die Potenzwerte aus 22³ = 10 648 und 22⁴ = 234 256 bestehen zusammen bereits aus elf Ziffern.

x = 20 kann man ausschließen, da sowohl beim Potenzwert von 20³ als auch von 20⁴ die Einerziffer eine 0 ist:

20³ = ..........0

20⁴ = ..........0

x = 21 kann man ausschließen, da sowohl beim Potenzwert von 21³ als auch von 21⁴ die Einerziffer eine 1 ist:

21³ = ..........1

21⁴ = ..........1

Für x kommen nur noch die Zahlen 18 und 19 in Frage.

Nur die Zahl 18 erfüllt die Bedingungen der Aufgabe:

18³ = 5832               19³ = 6859

18⁴ = 104 976          19⁴ = 130 321