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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele natürliche Zahlen erfüllen diese Voraussetzungen?

Zahlen

Wie viele natürliche Zahlen n gibt es, für die die Zahl 110n3 genau 110 positive Teiler hat? Dabei zählen 1 und 110n3 mit.

Sind p1, p2, p3 … und pk die verschiedenen Primfaktoren der Zahl 110n3 und gilt p1n1 · p2n2 · p2n2 · … · pknk = 110n3, so hat 110n3 genau (n1 + 1)(n2 + 1)(n3 + 1)…(nk + 1) Teiler. Da die Zahl exakt 110 Teiler haben soll, muss somit (n1 + 1)(n2 + 1)(n3 + 1)…(nk + 1) = 110 betragen. Die Zahl 110n3 hat mindestens drei verschiedene Primfaktoren, denn es gilt 110 = 2 · 5 · 11. Folglich müssen die Potenzen der drei Primfaktoren 2, 5 und 11 mindestens 1 sein. Da sich 110 aber nur auf eine einzige Weise in ein Produkt von mindestens drei Faktoren, die alle größer sind als 1, zerlegen lässt, nämlich in 110 = 2 · 5 · 11, können in der Zahl 110n3 auch nur die drei Primfaktoren 2, 5 und 11 auftauchen. Ihre Exponenten sind 1, 4 und 10, wenn auch nicht unbedingt in dieser Reihenfolge. Es gilt also p11 · p24 · p310 = p· p· p3 · p23 · p39 = 110 · (p· p33)3. Für n · (p· p33) gibt es folglich die sechs Möglichkeiten 5 · 23 = 40, 11 · 23 = 88, 2 · 53 = 250, 11 · 53 = 1375, 2 · 113 = 2662 und 5 · 113 = 6655.

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