"Bezaubernde Beweise" ist die deutsche Ausgabe des Buchs "Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics", das die Mathematical Association of America (MAA) 2010 herausgegeben hat. Man kann nur hoffen, dass sie viele Leser findet – nicht nur wegen ihres erstaunlich günstigen Preises. Für das amerikanische Original muss man 60 Dollar bezahlen.

Einer der beiden Autoren, Roger B. Nelsen vom Lewis & Clark College in Portland (Oregon, USA) hat die Taschenbücher "Proofs without Words" (Beweise ohne Worte) verfasst, die in Deutschland schon seit einigen Jahren als Geheimtipp unter Mathematiklehrern gelten. Der andere, Claudi Alsina von der Universitat Politécnica de Catalunya (Spanien) ist in Deutschland bisher weniger bekannt. Beide haben jahrelang, auch gemeinsam, Erfahrungen darin gesammelt, Schülern und Lehrern Mathematik zu vermitteln.

Im Vorwort beziehen sich die Autoren auf "Das Buch der Beweise" von Martin Aigner und Günter Ziegler (Erstauflage 1998), jenes Projekt, zu dem der ungarische Mathematiker Paul Erdös, der "Euler des 20. Jahrhunderts", ermuntert hatte. Während Aigner und Ziegler sich auf Herleitungen beschränken, die Leser mit erfolgreich absolviertem Mathematik-Grundstudium nachvollziehen können, setzen Nelsen und Alsina "bestenfalls etwas Integral- oder Differenzialrechnung und elementare Mathematik" voraus. Irritierend ist die vom Übersetzer Thomas Filk gewählte Formulierung, "Bezaubernde Beweise" solle das Buch von Aigner und Ziegler fortsetzen. Das trifft nicht zu; vielmehr möchten Nelsen und Alsina das Werk ihrer Kollegen auf elementarem Niveau ergänzen.

"Bezaubernde Beweise" gliedert sich in zwölf Kapitel, an deren Ende jeweils Aufgaben stehen, die der Leser möglichst selbst bewältigen soll. Ungeduldige können die Lösungen aber auch am Ende des Buchs nachlesen. Ein umfassendes Literaturverzeichnis verweist auf weiterführende Quellen, allerdings erschließt sich nicht immer, welche Referenz zu welchem Thema hilfreich ist. Positiv fällt auch das nützliche Stichwortverzeichnis auf. Die Kapitel sind unabhängig voneinander lesbar und werden durch geistreiche Zitate eingeleitet, die allein schon eine Lektüre lohnen.

Die Fülle der behandelten Themen soll für die ersten drei Kapitel etwas ausführlicher dargestellt werden. Das erste Kapitel widmet sich unter anderem figurierten Zahlen (Klassen von Zahlen, die sich auf geometrische Figuren beziehen, etwa Dreiecks- oder Quadratzahlen), Summen von besonderen Zahlen, Primzahlen, Fibonacci-Zahlen sowie vollkommenen Zahlen und enthält auch Abschnitte über den kleinen Satz von Fermat und den Satz von Wilson. Die Autoren greifen hier wunderbare Konzepte auf, um arithmetische Sachverhalte mithilfe geometrischer Muster anschaulich zu beweisen. Zudem ergänzen sie den genialen indirekten Beweis Euklids, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, um zwei vergleichsweise elementare direkte Konstruktionsverfahren für beliebig große Primzahlen. Den kleinen Satz von Fermat beweisen sie sehr anschaulich mit Hilfe der Perlenketten-Idee des amerikanischen Mathematikers und Ingenieurs Solomon Wolf Golomb.

Das zweite Kapitel behandelt "besondere Zahlen". Es enthält den klassischen Beweis der Irrationalität von √2 und die Übertragung des Beweises auf √k für nichtquadratische k. Zudem beschäftigen sich die Autoren mit dem Goldenden Schnitt, mit Eigenschaften der Zahl π, ihrer Kettenbruchentwicklung und der Formel von Moivre-Binet. Dass π eine irrationale Zahl ist, hatte bereits 1766 der schweizerisch-elsässische Mathematiker und Philosoph Johann Heinrich Lambert (1728-1777) gezeigt.

Nelsen und Alsina präsentieren aber auch jenen eleganten Beweis, den der amerikanisch-kanadische Mathematiker Ivan Morton Niven (1915-1999) im Jahr 1947 führte. Zudem enthält das Kapitel die Lösung der Steiner'schen Aufgabe: "Für welche positive Zahl x ist die x-te Wurzel von x die größte?" (Antwort: x=e). Den Abschluss bildet die Frage, ob eine Potenz mit irrationaler Basis und irrationalem Exponenten rational beziehungsweise irrational sein kann.

Kapitel 3 beschäftigt sich unter anderem mit dem Satz von Pick, der eine fundamentale Eigenschaft von einfachen Gitterpolygonen beschreibt, sowie dem Satz von Sylvester und Gallai, den Erdös wie folgt formulierte: "n Punkte sollten die Eigenschaft haben, dass die gerade Linie durch zwei beliebige Punkte immer auch durch einen dritten Punkt der Menge verläuft. Man zeige, dass die n Punkte auf einer Geraden liegen." Anhand von vier eindrucksvollen Beispielen wird die Bedeutung des dirichletschen Schubfachprinzips demonstriert (das die Autoren, wie im Englischen üblich, als Taubenschlagprinzip bezeichnen), bevor das Kapitel mit der genialen Lösung einer Aufgabe der US-Mathematikolympiade endet.

Auch die folgenden Kapitel reizen den Leser, zu Bleistift und Papier zu greifen und Skizzen zu den angesprochenen Problemen anzufertigen. Sie befassen sich unter anderem mit Eigenschaften elementarer geometrischer Figuren, mit kombinatorischen Fragen in Vielecken, mit Parkettierungen, aufregenden Kurven und dreidimensionalen Objekten.

"Bezaubernde Beweise" ist insbesondere Mathematiklehrern uneingeschränkt zu empfehlen. Es enthält viele Anregungen und Hintergrundinformationen zu unterschiedlichen Fragen, die zwar im Alltag des Mathematikunterrichts nicht immer eine Rolle spielen, aber allein schon deshalb nützlich sind, weil sie eine ungewöhnliche bunte Mischung von elementarer Mathematik und anschaulichen, eleganten Herleitungen ergeben. Wegen seines selbst gewählten "elementaren Anspruchsniveaus", das fast immer eingehalten wird, eignet sich das Werk aber auch generell für mathematisch Interessierte.