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Ich war überrascht, dass es Mathematica für Privatanwender jetzt auch zu weniger als einem Zehntel des kommerziellen Preises von 3185 Euro gibt, und trug mich schon mit dem Gedanken, es zu kaufen. Doch dann habe ich mir vorsichtshalber erst mal das in dem Artikel aufgeführte Anwendungsbeispiel angesehen und war ausgesprochen ernüchtert, dass Mathematica sich offenbar auch nicht schlauer verhält als zum Beispiel das kostenlose Maxima (ehemals Macsyma). Und auch 300 Euro sind mir zu viel, wenn Mathematica sich schon beim Vereinfachen von Formeln derart begriffsstutzig verhält. Gibt es Vergleichstests für Mathematica-ähnliche Algebra-Programme, auch mit Berücksichtigung des jeweiligen Preises?
Stellungnahme der Redaktion
Ich selbst verfüge über keine Vergleichsmöglichkeiten. Mathematica ist das einzige Computeralgebra-Programm, mit dem ich arbeite. (Das Programm FORMAC, mit dem ich vor langer Zeit meine ersten Gehversuche in Computeralgebra unternahm, kann mit den neueren Paketen auf keinen Fall mithalten – wenn es überhaupt noch irgendwo zu haben ist.)
Die echten Profis (zum Beispiel D. H. Bailey und Kollegen in ihrem Buch "Experimental Mathematics in Action", vergleiche auch meinen Artikel "Der Computer als Formelentdecker", Spektrum der Wissenschaft 1/2009) erzählen, dass alle vergleichbaren Programme ihre persönlichen Eigenheiten haben, auf die man eingehen muss, wenn man optimale Ergebnisse erzielen will. Es scheint nichts Besonderes zu sein, dass sich ein derartiges Programm an einer bestimmten Stelle erstaunlich schwach verhält.
Natürlich habe ich für den Test auch versucht, das Programm an seine Grenzen zu treiben, und zwar mit einem einfachen Beispiel – wofür ich eine ganze Weile habe suchen müssen.
Zu allem Überfluss hat mich inzwischen ein anderer Leser, nämlich Axel Kilian, darüber aufgeklärt, mit welchen Befehlen auch Mathematica die Sache sehr elegant und korrekt erledigen kann. Es bleibt also die Aussage bestehen, dass man Mathematica erst intensiv kennenlernen muss, um damit richtig gut arbeiten zu können.
Christoph Pöppe, Redaktion
Ich würde eher sagen "um damit überhaupt einigermaßen gut arbeiten zu können". Das trifft meines Erachtens auch auf das mir (leider auch nur unzureichend) bekannte Maxima zu. Nur kann man mit letzterem spielen, ohne dass eine Probezeit von wenigen Wochen abläuft, nach der man dann ein paar Hunderter hinblättern muss.
Die Überschrift "Mathematica fürs Volk" trifft eben nicht zu. Die Hersteller täten gut daran, sich an der vielgeschmähten Firma Microsoft ein Beispiel zu nehmen und eine kostenlose "Express"-Version unters Volk zu werfen.
Ich bin auch so, benutze meinen alten Rechenschieber nach wie vor, VEB Mantissa Modell "Rietz".
Jetzt wollte ich Lehrlingen den Umgang damit beibringen, konnte aber leider nicht alle Funktionen erklären, da ich keine Bedienungsanleitung mehr habe und der Mensch sich ja nur merkt, was er ständig benötigt. Bisher konnte mir keiner weiterhelfen.
Stellungnahme der Redaktion
Wenn der "Spektrum"-Artikel nicht hilft: Der Artikel "Rechenschieber" in der deutschen Wikipedia enthält eine ausführliche Anleitung mit etlichen Beispielen, darunter auch die eher selten gebrauchte Logarithmenskala zur Berechnung von Potenzen mit beliebigen Exponenten.
Wie viele auf dem Evolutionsprinzip basierenden Erklärungen ist auch diese hier reine Spekulation. Für eine Hypothese, die das Etikett "wissenschaftlich" verdient, fehlt ein entscheidendes Merkmal: Sie müsste experimentell überprüfbar sein.
Der Fortpflanzungserfolg eines Gens hängt von einer Unzahl von Faktoren ab. Man kann nie sicher sein, auch nur alle relevanten Faktoren zu kennen, geschweige denn ihre relative Wichtigkeit abschätzen zu können. Ich bin sicher, dass man für so ziemlich jede beobachtete Eigenschaft eines Lebewesens eine evolutionstheoretische Erklärung konstruieren kann, indem man plausibel scheinende Faktoren zusammenwirft. Mit Wissenschaft hat das aber nichts zu tun.
Die Entwicklung eines Impfstoffes mit gentechnischen Methoden gegen eine parasitäre Tropenkrankheit wie Schistosomiasis ist vielversprechend, aber der Autor Patrick Skelly räumt einen „steinigen Weg“ bis dahin ein. Ein Blick zurück zeigt, dass diese Krankheit zum Beispiel in Ägypten sehr alt ist, wie Parasiteneier in über 1000 Jahre alten Mumien zeigen. Bis ein wirksamer und vor allem auch preiswerter Impfstoff im Falle der Schistosomiasis zur Verfügung steht, kann die Erkrankung auch mit anderen Methoden bekämpft werden. Da der komplizierte Lebenszyklus bei den meisten Tropenkrankheiten ganz gut bekannt ist, genügt die Unterbrechung des Parasitenkreislaufs an einer einzigen Stelle. Wird bei der Schistosomiasis beispielsweise die Wasserschnecke als Zwischenwirt „ausgeschaltet“, bricht der gesamte Parasitenkreislauf zusammen und die Erkrankung beim Menschen verschwindet. In den 1960er Jahren beobachtete der Wissenschaftler Aklilu Lemma, dass in Gebieten Äthiopiens, in denen Menschen „soap-berries“ der einheimischen Endod-Pflanze (Phytolacca dodecandra (L’Herit), Phytolaccaceae) zur Körperpflege bzw. zum Waschen ihrer Wäsche benutzten, die Zwischenwirtschnecken abgetötet wurden. Durch nachfolgende Untersuchungen konnten mehrere molluskizide Verbindungen aus den Endod-Beeren isoliert werden. Für diese wissenschaftliche Erforschung erhielten Aklilu Lemma und Legesse Wolde-Yohannes 1989 den alternativen Nobelpreis. Die einheimischen Beeren zur Schneckenkontrolle sind viel preiswerter als das auch sehr wirksame synthetische „Niklosamid“ eines großen Chemieunternehmens. Von der molluskiziden Wirkung von Endod-Powder auf die Zwischenwirtschnecke Biomphalaria glabrata konnte ich mich während einer experimentellen Arbeit zum Thema Schistosoma mansoni überzeugen.
Ihr Artikel erinnert unweigerlich an den Roman "Per Anhalter durch die Galaxis" von Douglas Adams, in welchem beschrieben wird, wie man ein Raumschiff in einem PAL(Problem Anderer Leute)-Feld parkt. Obwohl tausende Menschen an dem Raumschiff vorbei laufen, bemerkt niemand seine Existenz, obgleich ein Raumschiff von einem anderen Planeten wohl zum Außergewöhnlichsten zählt, was man überhaupt sehen kann.
Wir parken zwar unsere Autos nicht in einem PAL- Feld, jedoch zeigt Ihr Artikel recht eindrucksvoll, wie sehr sich das Gehirn bei seiner Arbeit auf einige wenige ausgewählte Sinneseindrücke konzentriert. Eine genauere Kenntnis dieses Vorganges könnte wohl auch hilfreich sein, künftigen Robotern und automatisierten Fahrzeugen zu mehr Leistungsfähigkeit zu verhelfen.
Der Autor schreibt: "Zur unterirdischen Speicherung müssten Experten zunächst geeignete große Reservoire ausfindig machen ..." Wie man einem Interview mit Rajendra Singh entnehmen kann (New Scientist, 7.9.2002, S.48), sind jedoch auch kleinere Reservoirs sinnvoll einsetzbar.
Singh hat in der zweiten Hälfte der 80er-Jahre angefangen, in der indischen Provinz Jaipur traditionelle Methoden des "Grundwassermanagements" wiederzubeleben. Er grub dazu traditionelle "Johads". Diese bestehen im Wesentlichen aus einen 100 - 200 qm großen und ca. 5 m tiefen halbkreisförmigen "Sickerteich", der das Oberflächenwasser aus einem ca. 100 Hektar großen Einzugsgebiet einsammelt. Das dort versickernde Wasser geht ins Grundwasser über und verbessert auf diese Weise die Versorgung mit Wasser. Zur Auswahl geeigneter Standorte war traditionelles Wissen der einheimischen Bevölkerung (z. B. über die lokalen Bodenverhältnisse) unabdingbar. Im Laufe der Jahre gelang es ihm, mehrere weitgehend trocken gefallende Flüsse "wiederzubeleben". Dafür wurde ihm im Jahr 2001 der "Ramon Magsaysay Preis" verliehen, der ihm auch die Anerkennung seiner Arbeit durch die indische Regierung einbrachte.
Die zu dem Spektrum-Artikel "Ist die Stringtheorie noch eine Wissenschaft" im Netz veröffentlichten Leserzuschriften und Repliken empfand ich als sehr aufschlussreiche Ergänzung zu dem Artikel selbst, und die auf diesem Wege geführte Diskussion als äußerst interessant und spannend. Ich möchte zunächst der Spektrum-Redaktion dafür danken, dass sie ihren Lesern diese Art des Austausches ermöglicht.
Besonders erwähnen möchte ich meinen Meinungsaustausch mit Frau Vera Spillner, die mich durch Ihre weit über die meinen hinausgehenden Detailkenntnisse zur Stringtheorie beeindruckt hat. Für ihre belesenen Hinweise, aus denen ich viel gelernt habe, bedanke ich mich herzlich. Zwar stehe ich auch nach der Diskussion mit ihr der Stringtheorie noch - wenn auch weniger - skeptisch gegenüber und vermute immer noch, dass es viele Theorien in höheren Dimensionen geben sollte, die alle unsere 4D-Welt korrekt erzeugen.
Frau Spillners Ausführungen haben mich aber davon überzeugt, dass es zwar so sein kann, aber nicht zwingend so sein muss, wie ich es vermute. Es würde mich freuen, wenn ich im Gegenzug Frau Spillner davon überzeugen konnte, dass, selbst wenn es bei gewissen Vorgängen doch verborgene Variable geben sollte, man mit diesen aber nicht den quantenmechanischen Indeterminismus wieder ganz aus der Welt vertreiben könnte.
In der Graphik auf S. 83 „Warum die Wasserkrise droht“ ist Europa noch ganz grün (kein Wassermangel), aber „... zusammen mit dem Bevölkerungswachstum“ ist Europa plötzlich überall rot (Wassermangel)? Ich denke nicht, dass Europa bis 2025 ein derartiges Bevölkerungswachstum haben wird. In Deutschland ist derzeit kein nennenswerter Bevölkerungszuwachs abzusehen, trotzdem wird auch für Deutschland die Karte von grün zu rot, was entweder eine falsche Beschriftung oder eine falsche Berechnung der Karten bedeuten muss.
Generell finde ich den Artikel viel zu allgemein und zu sehr auf die Situation in den USA fixiert. Ein derart umfangreiches und komplexes Thema kann man nicht in dieser Kürze abhandeln, ohne dass am Ende fast nur Inhalte übrig bleiben, die man schon in der Schule gelernt hat. Probleme von Mehrwasserentsalzungsanlagen werden fast gar nicht erwähnt, nur, dass es viel Energie kostet, was man wirklich nicht unterschätzen sollte. Ein anderes Problem ist das Abwasser. Ein etwas abgeschnittenes Meer kann durch intensive Nutzung von Meerwasserentsalzung versalzen. Ich denke da beispielsweise an das Mittelmeer. Das wirkt sich zum einen auf die Energieeffizienz der Anlagen selber aus, als auch auf die ganze Tier und Pflanzenwelt.
Das Thema hätte leicht eine 5-teilige Reihe interessanter und abwechslungsreicher Artikel hergegeben, aber auf diese Größe gestutzt war der Artikel kaum das Lesen wert.
Stellungnahme der Redaktion
Sehr geehrter Herr Rummey,
haben Sie herzlichen Dank für die Zuschrift zu unserem Beitrag über die globale Wasserkrise.
Was die Grafik auf der Seite 83 betrifft, müssten Sie sich bitte an der Fachliteratur orientieren. Natürlich handelt es sich um Hochrechnungen auch von Bevölkerungsbewegungen, und um den Wassermangel, der trotz des - möglichen - Bevölkerungsschwundes entsteht.
Zu Ihrer Kritik am Inhalt des Artikels: Dieses Problem betrifft natürlich jedes Thema. Zu fast jedem Gebiet ließe sich leicht gleich ein ganzes Heft zusammenstellen, was wir ja auch regelmäßig machen, etwa mit unseren "Dossiers", in denen Artikel zum selben Thema zusammengefasst sind, oder mit den "Spezials", die ein Thema neu gründlich behandeln. Auch zu Umweltthemen haben wir da schon einiges zusammengestellt.
Unser Anspruch an die Monatsausgabe ist aber gerade, ein breites Spektrum an Themen zu bieten. Nach unserer Einschätzung bietet der Artikel über die Wasserknappheit weniger Informierten durchaus einen guten Überblick, enthält eine Menge Informationen und liefert zudem die Sicht eines ausgewiesenen Experten.
19.06.2009, Dipl.-Math. Wolfgang Hinderer, Karlsruhe
Vielen Dank für den schönen Artikel „Was ist Mathematik?“. Es gibt einen Punkt, der mir in dieser wie in ähnlichen Veröffentlichungen über das Grundverständnis der Mathematik immer wieder aufgestoßen ist und der mich nun zu diesem Leserbrief veranlasst:
Warum wird bei diesen Erörterungen nicht auf die Kategorientheorie Bezug genommen?
Die 1945 entstandene Kategorientheorie hat sich in der Folge (nicht zuletzt durch die Arbeiten der Bourbaki-Schule) quasi als „Esperanto“ für alle mathematischen Disziplinen bewährt. Das heißt, sie kann von ihnen als gemeinsame Grundlage für das Reden über ihre eigenen Gegenstände verwendet werden, einschließlich der mathematischen Modellbildungen zum Beispiel der Physik oder der Informatik.
Das Grundprinzip einer Kategorie im mathematischen Sinne ist, dass ihre Objekte ausschließlich durch ihre Außenbeziehungen zu den anderen Objekten definiert sind: Das sind die Pfeile (auch Morphismen genannt) und, in ihrer Ansammlung, die Diagramme, die allesamt nicht auf das „Innere“ der Objekte Bezug nehmen. Die Teildisziplin der Kategorientheorie, die sich mit „mengenähnlichen“ Objekten befasst, ist die Topos-Theorie. Beide, Kategorien- und Topos-Theorie, sind – neben ihrer Esperanto-Eigenschaft – selbst als Teilgebiete der Mathematik besonders schön, was das Verhältnis der minimalen Annahmen zu den daraus herleitbaren reichen Früchten an geht. Einen voraussetzungslosen Einstieg stellt wohl Goldblatt, R.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic, Studies in Logic and Foundations of Mathematics, vol. 98, North Holland, 2nd edition (1984), dar.
Warum es sich lohnen würde, die Kategorientheorie bei der Grundlagendiskussion näher in Betracht zu ziehen: Vielleicht ist ja unser Mengen-Verständnis – auch nach der Korrektur durch ZFC – noch zu „naiv“? Offenbar gibt es ja, wenn denn das mit der Esperanto-Eigenschaft stimmt, keine mathematische Aussage, die sich nicht kategoriell ausdrücken ließe (ich weiß allerdings leider nicht, ob es eine kategorielle Formulierung des Gödel'schen Satzes gibt).
Spannend wäre nun: Gibt es eine kategorielle Formulierung der Russell'schen Antinomie (was ja nicht im engeren Sinne eine mathematische Aussage ist)? Wenn nicht, dann läge es doch nahe, dass wir unsere mathematische „Denke“ vom Mengen-Vorbegriff auf einen „Kategorien-Vorbegriff“ umstellen, auf dieser Basis weiter nach Antinomien suchen und, solange wir keine finden, der belastbaren kategoriellen Grundlage vertrauen.
Das Kategorien-Konzept verdient es, auch einem größeren Kreis mathematisch interessierter Menschen etwa in einem oder mehreren Spektrum-Übersichtsartikeln präsentiert zu werden. Das hatte ich der Redaktion schon im September 1983 vorgeschlagen.
Stellungnahme der Redaktion
Herr Hinderer hat mit seiner Bemerkung völlig Recht. In der Tat hat William Lawveres Entdeckung, dass es unter der Mengenlehre noch eine tiefer liegende Fundierungsstruktur gibt, mit welcher die Grundbegriffe der Menge und die Elementrelation definiert werden können, relativ geringe wissenschaftstheoretische Aufmerksamkeit erregt. Es handelt sich die von Eilenberg und McLane 1945 entdeckten Kategorien (siehe zum Beispiel F. William Lawvere: "An elementary theory of the category of sets").
Darunter ist nicht das zu verstehen, was Aristoteles oder Kant als Denkmuster aufgestellt haben, sondern es handelt sich um eine Theorie, die den Begriff des Morphismus, eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes, in den Mittelpunkt stellt. Diese Morphismen können strukturerhaltend sein oder auch nicht. Die Kategorientheorie ist in der Lage, mit Gesamtheiten bestimmter mathematischer Systeme wie topologischer Räume umzugehen, die keine Mengen, sondern Kategorien sind. Auf Grund ihres allgemeinen und abstrakten Charakters sind die Kategorien besonders geeignet, die Querverbindungen zwischen den verschiedenen mathematischen Strukturen zu entschlüsseln. Wenn man an der metamathematischen Idee einer vereinheitlichten Theorie aller formalen Strukturen interessiert ist, sind die Kategorien, genau genommen noch vor den Mengen, die primären Basisobjekte, um eine solche Konzeption auf den Weg zu bringen.
Wie Herr Hinderer allerdings auch bemerkt hat, bedarf es wohl noch weiterer Untersuchungen, um zu erfahren, wie weit man ausschließen kann, dass die paradoxen Konsequenzen der Mengenlehre in anderem Gewand auftauchen.
Ich habe das Buch "Ich sehe die Welt wie ein frohes Tier" von Temple Grandin" und kurz darauf Ihren Artikel "Gehirn und Magie" gelesen und frage mich nun, ob sich Autisten wie T. Grandin von Magiern täuschen lassen.
Noch gibt es keine veröffentlichten Studien dazu, doch der im Artikel erwähnte Gustav Kuhn arbeitet bereits daran. Sobald seine Studie veröffentlicht ist, wird er sie sicherlich auch auf seiner Seite www.scienceofmagic.org verfügbar machen.
Mein Gefühl sagt mir, dass es bestimmte Kunststücke und Methoden der Zauberkunst gibt, die bei einem Autisten nicht wie gewohnt funktionieren werden.
Ich denke vor allem, dass die physische Ablenkung, also durch Gesten und Blicke, sehr viel weniger erfolgreich sein wird. Sofern es auch beim Menschen wirklich ein Spiegelneuron-System geben sollte, spielt dieses meines Erachtens eine wichtige Rolle bei den Prinzipien der physischen Ablenkung. Und genau die Spiegelneurone sollen ja bei Autisten beeinträchtigt sein:
Andererseits ist die Zauberkunst so reichhaltig an Effekten und Methoden, die nicht auf rein physischer Ablenkung basieren, dass es auch möglich sein sollte mit diesen Kunststücken, selbst Autisten das Gefühl der Verblüffung und des Staunens zu vermitteln! ;-)
(Der Artikel "Ein Flugzeug für den Weltraum" nennt eine Parallele zwischen Scramjets und Haien. Darauf und auf vorangegangene Leserbriefe bezieht sich diese Zuschrift, Anm. d. Red.)
Bei der Atmung von Haien, insbesondere der Staudruckatmung gibt es noch einige Punkte zu beachten:
1. die weit überwiegende Zahl der über 450 Haiarten lebt bodengebunden und ruht auf dem Boden. Sie sind auf aktive Atmung angewiesen, wie man in jedem Schauaquarium an Katzenhaien oder Ammenhaien beobachten kann.
2. Die vergleichsweise wenigen Arten, die permanent frei schwimmen, verwenden zumindest dann die Staudruckatmung.
Dies ergibt Sinn: Haie haben (bis auf sehr wenige Arten) keinen hydrostatischen, sondern hydrodynamischen Auftrieb, das heißt sie fliegen durchs Wasser wie ein Flugzeug und fahren nicht wie ein Ballon, wie das Knochenfische tun.
Um den hydrodynamischen Auftrieb zu erreichen, ist eine gewisse Mindestgeschwindigkeit notwendig. Diese Geschwindigkeit reicht meist schon aus, die günstigere Staudruckatmung zu nutzen.
Wieso ist Staudruckatmung günstiger? Der Energiebedarf für diese Atmung ist extrem gering. Der Wasserwiderstand eines Hais steigt nur unmerklich an, wenn er das Maul ein wenig öffnet.
Im Gegensatz dazu verbraucht die aktive Atmung im Ruhezustand bis zu 50% des Energieumsatzes des gesamten Tiers (meist 20 bis 30%).
Was die tatsächliche Geschwindigkeit der Haie angeht, sind zwei Geschwindigkeiten zu unterscheiden (auch hier steht die Luftfahrt Pate): Die Geschwindigkeit über Grund und die relative Geschwindigkeit zum Wasser.
Diese beiden Geschwindigkeiten sind gleich, wenn sich der Wasserkörper nicht bewegt.
Bewegt sich das Wasser, ist für die Dynamik des Hais nur die relative Geschwindigkeit von Belang: Seine eigene Geschwindigkeit muß dauerhaft höher sein, als die des umgebenden Wassers, sonst versagen Auftrieb und Staudruckatmung.
Schwimmt der Hai mit der Strömung, muß er sich also schneller als diese bewegen.
Die Geschwindigkeit über Grund spielt nur dann eine Rolle, wenn der Hai einen feststehenden Gegenstand erreichen will.
Ob alle Haiarten, wie Herr Schirdewahn schreibt, die Fähigkeit zur aktiven Atmung haben, weiß ich nicht.
Ich konnte die aktive Atmung bei einem Hundshai, der laut Literatur diese Fähigkeit nicht hat, selber beobachten. Dies war jedoch in einer Notsituation (Transport in einem engen Behälter), freiwillig machen diese Haie das nicht.
Das Spritzloch spielt hier - anders als bei Rochen - kaum eine Rolle, da die wenigsten Haie ihr Maul im Boden verbergen, wenn sie ruhen. Hinzu kommt, dass nicht alle Haiarten über ein Spritzloch verfügen.
Die von Herrn Löser, dem Autor des Artikels, in seiner Antwort verwendeten Aussagen
(ich zitiere:
"doch unter den neuen Maßstäben der internationalen Klimaschutzdebatte"
"Autoindustrie, Wissenschaftler wie Politiker sind endlich der gemeinsamen Meinung, dass das Auto der Zukunft keine herkömmlichen Diesel- oder Benzinmotoren mehr haben, sondern mit Elektrizität angetrieben wird."
)
zeigen ein Denken, welches in einer wissenschaftlichen Publikation schon seltsam anmutet. Ist das der Stil von "Spektrum der Wissenschaft"? Ich lese das Blatt heute seit langer Zeit wieder einmal. Wenn alle Artikel und Beiträge so "fundiert" sind wie der von Herrn Löser, werde ich wohl auch wieder Jahre benötigen, um mir Ihr Blatt anzutun.
herzlichen Dank für Ihren schönen Artikel über Grundfragen der Mathematik. Vielleicht liegt es daran, dass Sie von Beginn an den Standpunkt eines bedingten Realisten einnehmen, dass einige Ihrer Ideen in dem Artikel nicht bis zu ihren letzten Konsequenzen ausgeführt werden und dadurch auch einige wichtige Fragestellungen in der Mathematikphilosophie verborgen bleiben. Ich werde daher in diesem Leserbrief den Standpunkt eines „Intuitionisten“ (also nahe dem Standpunkt von Poincaré) einnehmen, um einige Ideen aus dieser Perspektive zu beleuchten und somit Ihren Artikel zu vervollständigen.
Zunächst ein Kommentar zum Intuitionismus: Für die Grundidee des Intuitionismus (Kronecker) sind die natürlichen Zahlen intuitiv (psychologisch) gegeben. Alles andere wird daraus konstruiert (in der Variante von Brouwer ist dann nur noch die „1“ gegeben). Diese Idee findet sich schon bei Gauß. Gauß schrieb in einem Brief an Bessel: „Wir müssen in Demut zugeben, dass, wenn die Zahl bloß unseres Geistes Produkt ist, der Raum auch außer unserem Geist eine Realität hat, der wir a priori ihre Gesetze nicht vollständig vorschreiben können.“ Ausgehend von dieser ambivalenten Sichtweise von Gauß haben sich bei seinen Schülern zwei Denkschulen entwickelt: die „Logiker“ Dedekind, Frege, Wittgenstein etc., sowie Kronecker und die „Intuitionisten“ (Poincaré, Brouwer, Weyl).
Die Logiker gehen aprioristisch vor, die Intuitionisten psychologisch, präziser gesagt psychophysisch (mit dem Anspruch, die Mathematik begrifflich in sich konsistent zu den empirischen Beobachtungen aus Psychologie, Physiologie und Physik zu fassen). Die psychologische Basis mathematischer Grundbegriffe wird hierbei bewusst nicht definitiv festgelegt, da (nach Poincaré) sich der Stand der psychologischen Forschung verändern kann. In diesem Sinne ist die Mathematik nicht sicher, nicht objektiv, nicht mehr oder weniger „fortschreitend in der Erkenntnis“ als andere Wissenschaften, nur dass sie es versteht, die „Krisen und Rückschritte“ besser nachträglich logisch zu verbergen Die Bezeichnungen werden beibehalten und nur deren Bedeutung angepasst (diesen Effekt der „Geschichtsschreibung aus Sicht des dominanten Paradigmas“ hat Thomas Kuhn ausgiebig für andere Wissenschaften dargelegt). So wurde mir von einem Mathematikhistoriker geschildert, wie der Einfluss der Ideen der Bourbaki-Gruppe (einer Gruppe überwiegend französischer Mathematiker, die gemeinsam unter dem Pseudonym „Bourbaki“ publizierten und versucht haben, die gesamte Mathematik konsistent auf die Mengenlehre zurückzuführen; ein Versuch, der gescheitert ist) das mathematische Denken der gesamten Generation des Historikers grundlegend beeinflusst hat. Kurz gesagt, die empirische Bedeutung (Gestalt) der Begriffe hat sich geändert. Doch dies bemerkt nur der Historiker, der sich mit der Veränderung beschäftigt. Im Bewusstsein der aktuellen Wissenschaft geht das Wissen um diese begrifflichen Veränderungen oft verloren, da es nicht mehr gelehrt wird. Die neue Generation von Wissenschaftlern wächst intuitiv mit dem veränderten Begriffsystem auf.
Sie geben hierzu ein interessantes Beispiel: Die euklidische Geometrie wird heute als Spezialfall gesehen. Dieses Beispiel zeigt die Kulturabhängigkeit von Mathematik. Die euklidische Geometrie ist dabei jedoch nicht dieselbe geblieben, da die Grundbegriffe ihre empirische Bedeutung verändert haben. Die Parallelen sind nicht mehr dieselben Parallelen wie für die alten Griechen, da sie damals keine „verschwindende Krümmung“ als Eigenschaft haben konnten. Damit ist Plato (und dem Platonismus) die empirische Basis entzogen (wobei man korrekterweise sagen muss, dass dazu noch eine weitere empirische Widerlegung gehört, nämlich die Widerlegung der „göttlichen Harmonien“, welche die Zahlen nach Ansicht der Pythagoräer ausdrücken sollen; wie Patel (Spektrum 02/09) beschrieben hat, sind Harmonien nicht göttlich, sondern kulturbedingt). In ähnlicher Weise hat Kronecker die (unbemerkte, intuitive) Veränderung der begrifflichen Verwendung des Gleichheitszeichens in der Mathematik festgestellt und der Gestaltpsychologe Max Wertheimer die Synthese von ursprünglich zwei Zahlbegriffen (dem ganzheitlich-gestaltorientieren, z. B. der „1“, und dem unkonkret-symbolhaften des 1, 2, 3, …) zu unserem derzeitigen Zahlbegriff in der Mathematik beschrieben. Ein Blick in andere Kulturen (Indien, China, Babylon, etc.) zeigt, wie unterschiedlich dort im Vergleich zu den alten Griechen Mathematik betrieben wurde. Wie unsere Mathematik aussähe, wenn die dortige Mathematik bis heute mit einer ähnlichen Zahl von Mathematikern wie die westliche Mathematik weiterbetrieben worden wäre, lässt sich nur schwer erahnen. Mathematikanthropologen würden vermutlich zustimmen, dass unsere Mathematik sehr anders sein könnte. Den Unterschied machen (im Sinne Poincarés) die kulturbedingten Konventionen aus (dies war übrigens auch Freges Ansatz in seinem Spätwerk zur Überwindung von Russells Paradoxon).
Die Frage, warum sich Mathematik so erfolgreich auf die empirische Welt anwenden lässt, ist aus intuitionistischer Sicht relativ eindeutig erklärbar: man wendet mathematische Gestalten auf noch nicht erklärte empirische Phänomene an. Wenn sie einigermaßen „passen“, werden sie als „passende Beschreibung“ verwendet. Quine hat gezeigt: Schon unsere Suche nach den physikalischen Phänomenen ist von psychischen Neigungen wie „Vereinfachung“ und der „Suche nach Symmetrien“ geprägt. Technologien werden häufig in anderem Sinne verwendet als dem ursprünglichen. Vieles wird auch ohne konkrete Anwendung entwickelt (z. B. aus Zufall oder in der Grundlagenforschung). Alchemisten wollten häufig Gold herstellen, woraus dann manchmal so etwas „Anwendbares“ wie Porzellan wurde. Maschinen in der modernen Medizintechnik „suchen“ oft nach Anwendungsdiagnosen.
Doch es gibt noch einen weiteren, subtileren Grund für die empirische Anwendbarkeit von mathematischen Ideen: Die mathematischen Ideen haben eine empirische Komponente. Wie der Schüler von Paul Bernays (Bernays war Assistent von Hilbert und Freund von Gödel) und Gonseth (Nachfolger in der Denktradition von Weyl), Alexander Israel Wittenberg festgestellt hat (er ist sozusagen Erbe der Göttinger und der intuitionistischen Tradition; leider 1965 früh verstorben), sind alle Begriffe notwendigerweise abstrakt und empirisch zugleich. Der Unterschied ist nur, dass die so genannten „abstrakten Begriffe“ auf anderen Begriffen aufbauen, deren empirischer Kern je nach Abstraktionsgrad immer stärker versteckt ist. In den so genannten „empirischen Begriffen“ wird dagegen der Begriff stets anhand des Vergleichs mit empirischen Fakten weiterentwickelt. Wenn mathematische Begriffe einen empirischen Kern haben, dann ist es nicht besonders verwunderlich, wenn ihre konsequente Weiterentwicklung eine gewisse Passgenauigkeit an empirische Tatsachen behält. Zudem hat die Mathematik hier den Vorteil, dass die entgegen den intuitiven Ansichten gerichteten Weiterentwicklungen wegen des hohen Abstraktionsgrades nicht so hinderlich sind wie z. B. in der Physik. Sie kann der Physik also „im Weiterdenken“ voraus sein.
Auch physikalische Begriffe sind davon betroffen, da auf der einen Seite jede Messung (Quantifizierung) eine Abstraktion bedeutet und auf der anderen Seite viele physikalische Begriffe nicht mehr „empirisch“, sondern nur noch „abstrakt“ gebildet werden (Beschreibungen dazu finden sich z. B. in Artikeln des Physiknobelpreisträgers Wilczek). Ein Rückgriff auf die Physik hilft also bei einer Begründung eines „realistischen“ Ansatzes in der Mathematik nur bedingt, da es leicht zu einem Henne-Ei Problem kommt. So sind „Objekte“ entgegen landläufiger Meinung keine physikalischen bzw. empirischen Dinge, sondern Gedankendinge (schon abstrahiert). Die Physik kennt Objekte nur auf der idealisierten Ebene, konkret handelt es sich z. B. um „Körper“. Der „Bestätigungsholismus“ von Duhem ist sozusagen nur eine Folge dieses Begriffsbildungsprozesses (bei Duhem in der Herleitung seines Bestätigungsholismus nachzulesen).
Im Sinne Wittenbergs lässt sich nur darüber staunen, dass Mathematiker im Wesentlichen als Platoniker (also an ideale, unveränderliche Objekte glaubend) handeln, obwohl es inkonsistent zu ihrem Realismus ist. Ihr „Realismus“ aber wird durch empirische Beobachtungen widerlegt, welche ihrer bisherigen Intuition widersprechen. Wittenbergs These war, dass in einer Wissenschaft, die so stark auf das Ideal der Vollständigkeit und der inneren Konsistenz setzt wie die Mathematik, dieser Zustand eigentlich unhaltbar sein müsse. Bernays hat ihm darauf geantwortet, dass sich die Widersprüche mit der Zeit pragmatisch lösen würden. Seitdem sind mehr als 40 Jahre vergangen. Man kann Ihren Artikel aus meiner Sicht so verstehen, dass sich an der Situation seitdem nichts geändert hat. Dies führt aus intuitionistischer Sicht zu einer Schlussfolgerung eher entgegen der gängigen Intuition über die so genannte „reine“ Mathematik: Von der Metaebene aus gesehen ist zur Zeit fast alle Mathematik anwendungsbezogen und nicht grundlagenbezogen. Sie hat somit ihre Kulturabhängigkeit eher verstärkt als verringert.
Stellungnahme der Redaktion
In Beantwortung des Leserbriefes von Herrn Siemsen seien noch einige klärende Worte zum Intuitionismus angefügt. Brouwers philosophische Voraussetzungen sind teils der Philosophie Kants entlehnt, teils der Strömung der Phänomenologie. Brouwer akzeptiert die Zeit als apriorische Anschauung, lehnt aber diese für den Raum ab. Seine fundamentale Intuition ist die Folge der zeitlichen Momente und das Durchlaufen von wohl unterschiedenen Einheiten, wie es beim Zählen geschieht. Die Mathematik wird von ihm und seiner Schule als Tätigkeit der introspektiven Konstruktion verstanden, die sich ohne Sprache und Symbole entwickelt. Sprache und Logik haben nur die Aufgabe der Registrierung für die Mitteilung der Resultate an die Mitwelt. Die intuitionistische Schule lehnt die klassische Logik ab, die nur für endliche konstruierte Mengen gültig sei, nicht aber für potentiell unendliche Mengen, und die aktual unendlichen Mengen werden als sinnlos und unkonstruierbar zurückgewiesen. Speziell wird das Prinzip, dass für jede Aussage A sie selbst oder ihre Verneinung gilt, zurückgewiesen, wenn es sich um unendliche Mengen, wie bereits bei den natürlichen Zahlen, handelt.
Obwohl die klassische Definition einer aussagenlogischen oder prädikatenlogischen Formel mit der intuitionistischen übereinstimmt, ist die Interpretation der Formeln und der logischen Konstanten völlig verschieden. Nach Heyting bedeutet die Behauptung einer Formel φ, daß man im Besitz eines Beweises für φ ist. Einen Beweis für (ψ⋀φ) hat man erbracht, wenn man sowohl einen Beweis für ψ als auch für φ vorgestellt hat. Seltsam ist die Deutung der Negation, ¬φ bedeutet so etwas wie "φ ist absurd". Man besitzt einen Beweis für ¬φ, wenn man, von einem Beweis von φ ausgehend, einen Widerspruch zeigen kann. Fremdartig mutet auch die Deutung der Quantoren an. Eine Existenzaussage ∃x φ(x) heißt, dass man ein Objekt a konstruiert hat, für das φ(a) gilt, und ∀x φ(x) meint, dass man in der Lage ist, für jedes a den Beweis von φ(a) anzutreten. Im Logiksystem von Heyting lassen sich wichtige Ableitungsformen nicht durchführen, klassische Tautologien wie φ∨¬φ oder (¬¬φ⇒φ) sind in diesem System nicht ableitbar. Auch in der Quantorenlogik gibt es wichtige Formeln, die klassisch gültig sind, aber intuitionistisch nicht gelten, wie die eigentlich einleuchtende Beziehung (¬∀xφ(x)→∃x¬φ(x) ).
Die methodologisch entscheidende Frage ist nun, ob die philosophische Basis des Intuitionismus eine solche Restriktion des Ableitungsinstrumentariums rechtfertigt, womit die Beweisverfahren wesentlich erschwert werden. Der Intuitionismus verlor wesentlich an Anziehungskraft, als Gödel (Zum intuitionistischen Aussagenkalkül. Akad. Wiss. Wien Math.-nat. Kl. Bd. 69, S. 65-66, 1932) bewies, dass man die klassische Logik und Arithmetik in die intuitionistische übersetzen kann, so dass jede gültige klassische Formel auch intuitionistisch gültig ist und jeder Widerspruch der klassischen Theorie auch in der intuitionistischen wiederzufinden ist. Dieser relative Konsistenzbeweis bedeutet, dass die intuitionistische Logik und Arithmetik nicht sicherer ist als die klassische. Deshalb lohnt es sich nach der Meinung der Mehrzahl der Mathematiker nicht, so viel von der die Eleganz und Reichhaltigkeit der klassischen Mathematik zu opfern.
Den Verzicht auf Pflügen und Direkteinsaat wurde schon seit Jahrzehnten vom Japaner Masanobu Fukuoka ebenso erfolgreich erprobt und angewendet (ohne Chemie und Gentechnik). Ich nehme an, dies hatte Auswirkungen bis in die USA. Er baute auch Reis an, ohne diesen ständig in Wasser zu halten.
So neu sind solche Anwendungen also nicht, sondern bisher vor allem ignoriert worden. Wie auch der im Text erwähnte Bericht des IAASTD (International Assessment of Agricultural Knowledge, Science and Technology for Development). Diese Lösungen sind einfach sehr intelligent und einfach - und wieviel gibt es hier noch zu entdecken!
Die Idee Fukuokas basiert nicht auf der Frage, was kann man tun - sondern auf der Frage, was kann man unterlassen?
Und sicher ist, das Gentechnik an Pflanzen unterlassen werden kann, denn bis heute haben transgene Pflanzen keinen Nutzen erbracht. Was wirklich gefragt sein sollte, ist, wie man intelligente Agrikultur (Landwirtschaft) betreiben kann, welche die Komplexität der Natur zum Vorbild nimmt? Und das bedeutet viel mehr als abhängigkeitsfördernde (teure) Technologie!
Alternativen zu Mathematica?
28.06.2009, Klaus Hagemeyer, LeverkusenIch selbst verfüge über keine Vergleichsmöglichkeiten. Mathematica ist das einzige Computeralgebra-Programm, mit dem ich arbeite. (Das Programm FORMAC, mit dem ich vor langer Zeit meine ersten Gehversuche in Computeralgebra unternahm, kann mit den neueren Paketen auf keinen Fall mithalten – wenn es überhaupt noch irgendwo zu haben ist.)
Die echten Profis (zum Beispiel D. H. Bailey und Kollegen in ihrem Buch "Experimental Mathematics in Action", vergleiche auch meinen Artikel "Der Computer als Formelentdecker", Spektrum der Wissenschaft 1/2009) erzählen, dass alle vergleichbaren Programme ihre persönlichen Eigenheiten haben, auf die man eingehen muss, wenn man optimale Ergebnisse erzielen will. Es scheint nichts Besonderes zu sein, dass sich ein derartiges Programm an einer bestimmten Stelle erstaunlich schwach verhält.
Natürlich habe ich für den Test auch versucht, das Programm an seine Grenzen zu treiben, und zwar mit einem einfachen Beispiel – wofür ich eine ganze Weile habe suchen müssen.
Zu allem Überfluss hat mich inzwischen ein anderer Leser, nämlich Axel Kilian, darüber aufgeklärt, mit welchen Befehlen auch Mathematica die Sache sehr elegant und korrekt erledigen kann. Es bleibt also die Aussage bestehen, dass man Mathematica erst intensiv kennenlernen muss, um damit richtig gut arbeiten zu können.
Christoph Pöppe, Redaktion
Ich würde eher sagen "um damit überhaupt einigermaßen gut arbeiten zu können". Das trifft meines Erachtens auch auf das mir (leider auch nur unzureichend) bekannte Maxima zu. Nur kann man mit letzterem spielen, ohne dass eine Probezeit von wenigen Wochen abläuft, nach der man dann ein paar Hunderter hinblättern muss.
Die Überschrift "Mathematica fürs Volk" trifft eben nicht zu. Die Hersteller täten gut daran, sich an der vielgeschmähten Firma Microsoft ein Beispiel zu nehmen und eine kostenlose "Express"-Version unters Volk zu werfen.
Klaus Hagemeyer
Wie geht man mit dem Rechenschieber um?
27.06.2009, Andreas Ewald, BerlinJetzt wollte ich Lehrlingen den Umgang damit beibringen, konnte aber leider nicht alle Funktionen erklären, da ich keine Bedienungsanleitung mehr habe und der Mensch sich ja nur merkt, was er ständig benötigt. Bisher konnte mir keiner weiterhelfen.
Wenn der "Spektrum"-Artikel nicht hilft: Der Artikel "Rechenschieber" in der deutschen Wikipedia enthält eine ausführliche Anleitung mit etlichen Beispielen, darunter auch die eher selten gebrauchte Logarithmenskala zur Berechnung von Potenzen mit beliebigen Exponenten.
Christoph Pöppe, Redaktion
Unwissenschaftliche Spekulation
27.06.2009, Konrad Hinsen, Clamart (Frankreich)Der Fortpflanzungserfolg eines Gens hängt von einer Unzahl von Faktoren ab. Man kann nie sicher sein, auch nur alle relevanten Faktoren zu kennen, geschweige denn ihre relative Wichtigkeit abschätzen zu können. Ich bin sicher, dass man für so ziemlich jede beobachtete Eigenschaft eines Lebewesens eine evolutionstheoretische Erklärung konstruieren kann, indem man plausibel scheinende Faktoren zusammenwirft. Mit Wissenschaft hat das aber nichts zu tun.
Mit soap-berries gegen Tropenkrankheit Schistosomiasis
23.06.2009, Martin Rabe, HagenParken im "Problem-Anderer-Leute-Feld"
23.06.2009, Dieter Sulzbacher, TraismauerWir parken zwar unsere Autos nicht in einem PAL- Feld, jedoch zeigt Ihr Artikel recht eindrucksvoll, wie sehr sich das Gehirn bei seiner Arbeit auf einige wenige ausgewählte Sinneseindrücke konzentriert. Eine genauere Kenntnis dieses Vorganges könnte wohl auch hilfreich sein, künftigen Robotern und automatisierten Fahrzeugen zu mehr Leistungsfähigkeit zu verhelfen.
Traditionelles Grundwassermanagement
23.06.2009, Jörg Michael, HannoverSingh hat in der zweiten Hälfte der 80er-Jahre angefangen, in der indischen Provinz Jaipur traditionelle Methoden des "Grundwassermanagements" wiederzubeleben. Er grub dazu traditionelle "Johads". Diese bestehen im Wesentlichen aus einen 100 - 200 qm großen und ca. 5 m tiefen halbkreisförmigen "Sickerteich", der das Oberflächenwasser aus einem ca. 100 Hektar großen Einzugsgebiet einsammelt. Das dort versickernde Wasser geht ins Grundwasser über und verbessert auf diese Weise die Versorgung mit Wasser. Zur Auswahl geeigneter Standorte war traditionelles Wissen der einheimischen Bevölkerung (z. B. über die lokalen Bodenverhältnisse) unabdingbar. Im Laufe der Jahre gelang es ihm, mehrere weitgehend trocken gefallende Flüsse "wiederzubeleben". Dafür wurde ihm im Jahr 2001 der "Ramon Magsaysay Preis" verliehen, der ihm auch die Anerkennung seiner Arbeit durch die indische Regierung einbrachte.
Jetzt weniger Skepsis gegenüber der Stringtheorie
22.06.2009, Dr. Gunter Berauer, MünchenBesonders erwähnen möchte ich meinen Meinungsaustausch mit Frau Vera Spillner, die mich durch Ihre weit über die meinen hinausgehenden Detailkenntnisse zur Stringtheorie beeindruckt hat. Für ihre belesenen Hinweise, aus denen ich viel gelernt habe, bedanke ich mich herzlich. Zwar stehe ich auch nach der Diskussion mit ihr der Stringtheorie noch - wenn auch weniger - skeptisch gegenüber und vermute immer noch, dass es viele Theorien in höheren Dimensionen geben sollte, die alle unsere 4D-Welt korrekt erzeugen.
Frau Spillners Ausführungen haben mich aber davon überzeugt, dass es zwar so sein kann, aber nicht zwingend so sein muss, wie ich es vermute. Es würde mich freuen, wenn ich im Gegenzug Frau Spillner davon überzeugen konnte, dass, selbst wenn es bei gewissen Vorgängen doch verborgene Variable geben sollte, man mit diesen aber nicht den quantenmechanischen Indeterminismus wieder ganz aus der Welt vertreiben könnte.
Wassermangel trotz Bevölkerungsrückgang?
19.06.2009, Magnus Rummey, AugsburgGenerell finde ich den Artikel viel zu allgemein und zu sehr auf die Situation in den USA fixiert. Ein derart umfangreiches und komplexes Thema kann man nicht in dieser Kürze abhandeln, ohne dass am Ende fast nur Inhalte übrig bleiben, die man schon in der Schule gelernt hat. Probleme von Mehrwasserentsalzungsanlagen werden fast gar nicht erwähnt, nur, dass es viel Energie kostet, was man wirklich nicht unterschätzen sollte. Ein anderes Problem ist das Abwasser. Ein etwas abgeschnittenes Meer kann durch intensive Nutzung von Meerwasserentsalzung versalzen. Ich denke da beispielsweise an das Mittelmeer. Das wirkt sich zum einen auf die Energieeffizienz der Anlagen selber aus, als auch auf die ganze Tier und Pflanzenwelt.
Das Thema hätte leicht eine 5-teilige Reihe interessanter und abwechslungsreicher Artikel hergegeben, aber auf diese Größe gestutzt war der Artikel kaum das Lesen wert.
Sehr geehrter Herr Rummey,
haben Sie herzlichen Dank für die Zuschrift zu unserem Beitrag über die globale Wasserkrise.
Was die Grafik auf der Seite 83 betrifft, müssten Sie sich bitte an der Fachliteratur orientieren. Natürlich handelt es sich um Hochrechnungen auch von Bevölkerungsbewegungen, und um den Wassermangel, der trotz des - möglichen - Bevölkerungsschwundes entsteht.
Zu Ihrer Kritik am Inhalt des Artikels: Dieses Problem betrifft natürlich jedes Thema. Zu fast jedem Gebiet ließe sich leicht gleich ein ganzes Heft zusammenstellen, was wir ja auch regelmäßig machen, etwa mit unseren "Dossiers", in denen Artikel zum selben Thema zusammengefasst sind, oder mit den "Spezials", die ein Thema neu gründlich behandeln. Auch zu Umweltthemen haben wir da schon einiges zusammengestellt.
Unser Anspruch an die Monatsausgabe ist aber gerade, ein breites Spektrum an Themen zu bieten. Nach unserer Einschätzung bietet der Artikel über die Wasserknappheit weniger Informierten durchaus einen guten Überblick, enthält eine Menge Informationen und liefert zudem die Sicht eines ausgewiesenen Experten.
Beste Grüße
Adelheid Stahnke
Kategorientheorie
19.06.2009, Dipl.-Math. Wolfgang Hinderer, KarlsruheWarum wird bei diesen Erörterungen nicht auf die Kategorientheorie Bezug genommen?
Die 1945 entstandene Kategorientheorie hat sich in der Folge (nicht zuletzt durch die Arbeiten der Bourbaki-Schule) quasi als „Esperanto“ für alle mathematischen Disziplinen bewährt. Das heißt, sie kann von ihnen als gemeinsame Grundlage für das Reden über ihre eigenen Gegenstände verwendet werden, einschließlich der mathematischen Modellbildungen zum Beispiel der Physik oder der Informatik.
Das Grundprinzip einer Kategorie im mathematischen Sinne ist, dass ihre Objekte ausschließlich durch ihre Außenbeziehungen zu den anderen Objekten definiert sind: Das sind die Pfeile (auch Morphismen genannt) und, in ihrer Ansammlung, die Diagramme, die allesamt nicht auf das „Innere“ der Objekte Bezug nehmen. Die Teildisziplin der Kategorientheorie, die sich mit „mengenähnlichen“ Objekten befasst, ist die Topos-Theorie. Beide, Kategorien- und Topos-Theorie, sind – neben ihrer Esperanto-Eigenschaft – selbst als Teilgebiete der Mathematik besonders schön, was das Verhältnis der minimalen Annahmen zu den daraus herleitbaren reichen Früchten an geht. Einen voraussetzungslosen Einstieg stellt wohl Goldblatt, R.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic, Studies in Logic and Foundations of Mathematics, vol. 98, North Holland, 2nd edition (1984), dar.
Warum es sich lohnen würde, die Kategorientheorie bei der Grundlagendiskussion näher in Betracht zu ziehen: Vielleicht ist ja unser Mengen-Verständnis – auch nach der Korrektur durch ZFC – noch zu „naiv“? Offenbar gibt es ja, wenn denn das mit der Esperanto-Eigenschaft stimmt, keine mathematische Aussage, die sich nicht kategoriell ausdrücken ließe (ich weiß allerdings leider nicht, ob es eine kategorielle Formulierung des Gödel'schen Satzes gibt).
Spannend wäre nun: Gibt es eine kategorielle Formulierung der Russell'schen Antinomie (was ja nicht im engeren Sinne eine mathematische Aussage ist)? Wenn nicht, dann läge es doch nahe, dass wir unsere mathematische „Denke“ vom Mengen-Vorbegriff auf einen „Kategorien-Vorbegriff“ umstellen, auf dieser Basis weiter nach Antinomien suchen und, solange wir keine finden, der belastbaren kategoriellen Grundlage vertrauen.
Das Kategorien-Konzept verdient es, auch einem größeren Kreis mathematisch interessierter Menschen etwa in einem oder mehreren Spektrum-Übersichtsartikeln präsentiert zu werden. Das hatte ich der Redaktion schon im September 1983 vorgeschlagen.
Herr Hinderer hat mit seiner Bemerkung völlig Recht. In der Tat hat William Lawveres Entdeckung, dass es unter der Mengenlehre noch eine tiefer liegende Fundierungsstruktur gibt, mit welcher die Grundbegriffe der Menge und die Elementrelation definiert werden können, relativ geringe wissenschaftstheoretische Aufmerksamkeit erregt. Es handelt sich die von Eilenberg und McLane 1945 entdeckten Kategorien (siehe zum Beispiel F. William Lawvere: "An elementary theory of the category of sets").
Darunter ist nicht das zu verstehen, was Aristoteles oder Kant als Denkmuster aufgestellt haben, sondern es handelt sich um eine Theorie, die den Begriff des Morphismus, eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes, in den Mittelpunkt stellt. Diese Morphismen können strukturerhaltend sein oder auch nicht. Die Kategorientheorie ist in der Lage, mit Gesamtheiten bestimmter mathematischer Systeme wie topologischer Räume umzugehen, die keine Mengen, sondern Kategorien sind. Auf Grund ihres allgemeinen und abstrakten Charakters sind die Kategorien besonders geeignet, die Querverbindungen zwischen den verschiedenen mathematischen Strukturen zu entschlüsseln. Wenn man an der metamathematischen Idee einer vereinheitlichten Theorie aller formalen Strukturen interessiert ist, sind die Kategorien, genau genommen noch vor den Mengen, die primären Basisobjekte, um eine solche Konzeption auf den Weg zu bringen.
Wie Herr Hinderer allerdings auch bemerkt hat, bedarf es wohl noch weiterer Untersuchungen, um zu erfahren, wie weit man ausschließen kann, dass die paradoxen Konsequenzen der Mengenlehre in anderem Gewand auftauchen.
Lassen sich auch Autisten von Magiern täuschen?
16.06.2009, Corinne Suter Trevissoi, Zollikon CHAntwort von Thomas Fraps
Eine interessante Frage!
Noch gibt es keine veröffentlichten Studien dazu, doch der im Artikel erwähnte Gustav Kuhn arbeitet bereits daran. Sobald seine Studie veröffentlicht ist, wird er sie sicherlich auch auf seiner Seite www.scienceofmagic.org verfügbar machen.
Mein Gefühl sagt mir, dass es bestimmte Kunststücke und Methoden der Zauberkunst gibt, die bei einem Autisten nicht wie gewohnt funktionieren werden.
Ich denke vor allem, dass die physische Ablenkung, also durch Gesten und Blicke, sehr viel weniger erfolgreich sein wird. Sofern es auch beim Menschen wirklich ein Spiegelneuron-System geben sollte, spielt dieses meines Erachtens eine wichtige Rolle bei den Prinzipien der physischen Ablenkung. Und genau die Spiegelneurone sollen ja bei Autisten beeinträchtigt sein:
http://www.wdr.de/tv/quarks/sendungsbeitraege/2009/0428/005_autismus2.jsp
https://www.spektrum.de/artikel/866414&_z=798888
Andererseits ist die Zauberkunst so reichhaltig an Effekten und Methoden, die nicht auf rein physischer Ablenkung basieren, dass es auch möglich sein sollte mit diesen Kunststücken, selbst Autisten das Gefühl der Verblüffung und des Staunens zu vermitteln! ;-)
Atmung bei Haien
11.06.2009, Tobias Möser, AquaNet-Redaktion, NortheimBei der Atmung von Haien, insbesondere der Staudruckatmung gibt es noch einige Punkte zu beachten:
1. die weit überwiegende Zahl der über 450 Haiarten lebt bodengebunden und ruht auf dem Boden. Sie sind auf aktive Atmung angewiesen, wie man in jedem Schauaquarium an Katzenhaien oder Ammenhaien beobachten kann.
2. Die vergleichsweise wenigen Arten, die permanent frei schwimmen, verwenden zumindest dann die Staudruckatmung.
Dies ergibt Sinn: Haie haben (bis auf sehr wenige Arten) keinen hydrostatischen, sondern hydrodynamischen Auftrieb, das heißt sie fliegen durchs Wasser wie ein Flugzeug und fahren nicht wie ein Ballon, wie das Knochenfische tun.
Um den hydrodynamischen Auftrieb zu erreichen, ist eine gewisse Mindestgeschwindigkeit notwendig. Diese Geschwindigkeit reicht meist schon aus, die günstigere Staudruckatmung zu nutzen.
Wieso ist Staudruckatmung günstiger? Der Energiebedarf für diese Atmung ist extrem gering. Der Wasserwiderstand eines Hais steigt nur unmerklich an, wenn er das Maul ein wenig öffnet.
Im Gegensatz dazu verbraucht die aktive Atmung im Ruhezustand bis zu 50% des Energieumsatzes des gesamten Tiers (meist 20 bis 30%).
Was die tatsächliche Geschwindigkeit der Haie angeht, sind zwei Geschwindigkeiten zu unterscheiden (auch hier steht die Luftfahrt Pate): Die Geschwindigkeit über Grund und die relative Geschwindigkeit zum Wasser.
Diese beiden Geschwindigkeiten sind gleich, wenn sich der Wasserkörper nicht bewegt.
Bewegt sich das Wasser, ist für die Dynamik des Hais nur die relative Geschwindigkeit von Belang: Seine eigene Geschwindigkeit muß dauerhaft höher sein, als die des umgebenden Wassers, sonst versagen Auftrieb und Staudruckatmung.
Schwimmt der Hai mit der Strömung, muß er sich also schneller als diese bewegen.
Die Geschwindigkeit über Grund spielt nur dann eine Rolle, wenn der Hai einen feststehenden Gegenstand erreichen will.
Ob alle Haiarten, wie Herr Schirdewahn schreibt, die Fähigkeit zur aktiven Atmung haben, weiß ich nicht.
Ich konnte die aktive Atmung bei einem Hundshai, der laut Literatur diese Fähigkeit nicht hat, selber beobachten. Dies war jedoch in einer Notsituation (Transport in einem engen Behälter), freiwillig machen diese Haie das nicht.
Das Spritzloch spielt hier - anders als bei Rochen - kaum eine Rolle, da die wenigsten Haie ihr Maul im Boden verbergen, wenn sie ruhen. Hinzu kommt, dass nicht alle Haiarten über ein Spritzloch verfügen.
Gilgal
08.06.2009, U.HofmannDie hier vorgebrachte Interpretationsleistung zum Wort "Schuhlsohle" scheint mir ein gelungener Scherz.
Anmerkungen zur Replik von Herrn Löser auf Dr. Krüger
07.06.2009, Dr. Detlef Orth, Köln(ich zitiere:
"doch unter den neuen Maßstäben der internationalen Klimaschutzdebatte"
"Autoindustrie, Wissenschaftler wie Politiker sind endlich der gemeinsamen Meinung, dass das Auto der Zukunft keine herkömmlichen Diesel- oder Benzinmotoren mehr haben, sondern mit Elektrizität angetrieben wird."
)
zeigen ein Denken, welches in einer wissenschaftlichen Publikation schon seltsam anmutet. Ist das der Stil von "Spektrum der Wissenschaft"? Ich lese das Blatt heute seit langer Zeit wieder einmal. Wenn alle Artikel und Beiträge so "fundiert" sind wie der von Herrn Löser, werde ich wohl auch wieder Jahre benötigen, um mir Ihr Blatt anzutun.
Eine intuitionistische Perspektive
06.06.2009, Hayo Siemsen, Wadgassen, Saarlandherzlichen Dank für Ihren schönen Artikel über Grundfragen der Mathematik. Vielleicht liegt es daran, dass Sie von Beginn an den Standpunkt eines bedingten Realisten einnehmen, dass einige Ihrer Ideen in dem Artikel nicht bis zu ihren letzten Konsequenzen ausgeführt werden und dadurch auch einige wichtige Fragestellungen in der Mathematikphilosophie verborgen bleiben. Ich werde daher in diesem Leserbrief den Standpunkt eines „Intuitionisten“ (also nahe dem Standpunkt von Poincaré) einnehmen, um einige Ideen aus dieser Perspektive zu beleuchten und somit Ihren Artikel zu vervollständigen.
Zunächst ein Kommentar zum Intuitionismus: Für die Grundidee des Intuitionismus (Kronecker) sind die natürlichen Zahlen intuitiv (psychologisch) gegeben. Alles andere wird daraus konstruiert (in der Variante von Brouwer ist dann nur noch die „1“ gegeben). Diese Idee findet sich schon bei Gauß. Gauß schrieb in einem Brief an Bessel: „Wir müssen in Demut zugeben, dass, wenn die Zahl bloß unseres Geistes Produkt ist, der Raum auch außer unserem Geist eine Realität hat, der wir a priori ihre Gesetze nicht vollständig vorschreiben können.“ Ausgehend von dieser ambivalenten Sichtweise von Gauß haben sich bei seinen Schülern zwei Denkschulen entwickelt: die „Logiker“ Dedekind, Frege, Wittgenstein etc., sowie Kronecker und die „Intuitionisten“ (Poincaré, Brouwer, Weyl).
Die Logiker gehen aprioristisch vor, die Intuitionisten psychologisch, präziser gesagt psychophysisch (mit dem Anspruch, die Mathematik begrifflich in sich konsistent zu den empirischen Beobachtungen aus Psychologie, Physiologie und Physik zu fassen). Die psychologische Basis mathematischer Grundbegriffe wird hierbei bewusst nicht definitiv festgelegt, da (nach Poincaré) sich der Stand der psychologischen Forschung verändern kann. In diesem Sinne ist die Mathematik nicht sicher, nicht objektiv, nicht mehr oder weniger „fortschreitend in der Erkenntnis“ als andere Wissenschaften, nur dass sie es versteht, die „Krisen und Rückschritte“ besser nachträglich logisch zu verbergen Die Bezeichnungen werden beibehalten und nur deren Bedeutung angepasst (diesen Effekt der „Geschichtsschreibung aus Sicht des dominanten Paradigmas“ hat Thomas Kuhn ausgiebig für andere Wissenschaften dargelegt). So wurde mir von einem Mathematikhistoriker geschildert, wie der Einfluss der Ideen der Bourbaki-Gruppe (einer Gruppe überwiegend französischer Mathematiker, die gemeinsam unter dem Pseudonym „Bourbaki“ publizierten und versucht haben, die gesamte Mathematik konsistent auf die Mengenlehre zurückzuführen; ein Versuch, der gescheitert ist) das mathematische Denken der gesamten Generation des Historikers grundlegend beeinflusst hat. Kurz gesagt, die empirische Bedeutung (Gestalt) der Begriffe hat sich geändert. Doch dies bemerkt nur der Historiker, der sich mit der Veränderung beschäftigt. Im Bewusstsein der aktuellen Wissenschaft geht das Wissen um diese begrifflichen Veränderungen oft verloren, da es nicht mehr gelehrt wird. Die neue Generation von Wissenschaftlern wächst intuitiv mit dem veränderten Begriffsystem auf.
Sie geben hierzu ein interessantes Beispiel: Die euklidische Geometrie wird heute als Spezialfall gesehen. Dieses Beispiel zeigt die Kulturabhängigkeit von Mathematik. Die euklidische Geometrie ist dabei jedoch nicht dieselbe geblieben, da die Grundbegriffe ihre empirische Bedeutung verändert haben. Die Parallelen sind nicht mehr dieselben Parallelen wie für die alten Griechen, da sie damals keine „verschwindende Krümmung“ als Eigenschaft haben konnten. Damit ist Plato (und dem Platonismus) die empirische Basis entzogen (wobei man korrekterweise sagen muss, dass dazu noch eine weitere empirische Widerlegung gehört, nämlich die Widerlegung der „göttlichen Harmonien“, welche die Zahlen nach Ansicht der Pythagoräer ausdrücken sollen; wie Patel (Spektrum 02/09) beschrieben hat, sind Harmonien nicht göttlich, sondern kulturbedingt). In ähnlicher Weise hat Kronecker die (unbemerkte, intuitive) Veränderung der begrifflichen Verwendung des Gleichheitszeichens in der Mathematik festgestellt und der Gestaltpsychologe Max Wertheimer die Synthese von ursprünglich zwei Zahlbegriffen (dem ganzheitlich-gestaltorientieren, z. B. der „1“, und dem unkonkret-symbolhaften des 1, 2, 3, …) zu unserem derzeitigen Zahlbegriff in der Mathematik beschrieben. Ein Blick in andere Kulturen (Indien, China, Babylon, etc.) zeigt, wie unterschiedlich dort im Vergleich zu den alten Griechen Mathematik betrieben wurde. Wie unsere Mathematik aussähe, wenn die dortige Mathematik bis heute mit einer ähnlichen Zahl von Mathematikern wie die westliche Mathematik weiterbetrieben worden wäre, lässt sich nur schwer erahnen. Mathematikanthropologen würden vermutlich zustimmen, dass unsere Mathematik sehr anders sein könnte. Den Unterschied machen (im Sinne Poincarés) die kulturbedingten Konventionen aus (dies war übrigens auch Freges Ansatz in seinem Spätwerk zur Überwindung von Russells Paradoxon).
Die Frage, warum sich Mathematik so erfolgreich auf die empirische Welt anwenden lässt, ist aus intuitionistischer Sicht relativ eindeutig erklärbar: man wendet mathematische Gestalten auf noch nicht erklärte empirische Phänomene an. Wenn sie einigermaßen „passen“, werden sie als „passende Beschreibung“ verwendet. Quine hat gezeigt: Schon unsere Suche nach den physikalischen Phänomenen ist von psychischen Neigungen wie „Vereinfachung“ und der „Suche nach Symmetrien“ geprägt. Technologien werden häufig in anderem Sinne verwendet als dem ursprünglichen. Vieles wird auch ohne konkrete Anwendung entwickelt (z. B. aus Zufall oder in der Grundlagenforschung). Alchemisten wollten häufig Gold herstellen, woraus dann manchmal so etwas „Anwendbares“ wie Porzellan wurde. Maschinen in der modernen Medizintechnik „suchen“ oft nach Anwendungsdiagnosen.
Doch es gibt noch einen weiteren, subtileren Grund für die empirische Anwendbarkeit von mathematischen Ideen: Die mathematischen Ideen haben eine empirische Komponente. Wie der Schüler von Paul Bernays (Bernays war Assistent von Hilbert und Freund von Gödel) und Gonseth (Nachfolger in der Denktradition von Weyl), Alexander Israel Wittenberg festgestellt hat (er ist sozusagen Erbe der Göttinger und der intuitionistischen Tradition; leider 1965 früh verstorben), sind alle Begriffe notwendigerweise abstrakt und empirisch zugleich. Der Unterschied ist nur, dass die so genannten „abstrakten Begriffe“ auf anderen Begriffen aufbauen, deren empirischer Kern je nach Abstraktionsgrad immer stärker versteckt ist. In den so genannten „empirischen Begriffen“ wird dagegen der Begriff stets anhand des Vergleichs mit empirischen Fakten weiterentwickelt. Wenn mathematische Begriffe einen empirischen Kern haben, dann ist es nicht besonders verwunderlich, wenn ihre konsequente Weiterentwicklung eine gewisse Passgenauigkeit an empirische Tatsachen behält. Zudem hat die Mathematik hier den Vorteil, dass die entgegen den intuitiven Ansichten gerichteten Weiterentwicklungen wegen des hohen Abstraktionsgrades nicht so hinderlich sind wie z. B. in der Physik. Sie kann der Physik also „im Weiterdenken“ voraus sein.
Auch physikalische Begriffe sind davon betroffen, da auf der einen Seite jede Messung (Quantifizierung) eine Abstraktion bedeutet und auf der anderen Seite viele physikalische Begriffe nicht mehr „empirisch“, sondern nur noch „abstrakt“ gebildet werden (Beschreibungen dazu finden sich z. B. in Artikeln des Physiknobelpreisträgers Wilczek). Ein Rückgriff auf die Physik hilft also bei einer Begründung eines „realistischen“ Ansatzes in der Mathematik nur bedingt, da es leicht zu einem Henne-Ei Problem kommt. So sind „Objekte“ entgegen landläufiger Meinung keine physikalischen bzw. empirischen Dinge, sondern Gedankendinge (schon abstrahiert). Die Physik kennt Objekte nur auf der idealisierten Ebene, konkret handelt es sich z. B. um „Körper“. Der „Bestätigungsholismus“ von Duhem ist sozusagen nur eine Folge dieses Begriffsbildungsprozesses (bei Duhem in der Herleitung seines Bestätigungsholismus nachzulesen).
Im Sinne Wittenbergs lässt sich nur darüber staunen, dass Mathematiker im Wesentlichen als Platoniker (also an ideale, unveränderliche Objekte glaubend) handeln, obwohl es inkonsistent zu ihrem Realismus ist. Ihr „Realismus“ aber wird durch empirische Beobachtungen widerlegt, welche ihrer bisherigen Intuition widersprechen. Wittenbergs These war, dass in einer Wissenschaft, die so stark auf das Ideal der Vollständigkeit und der inneren Konsistenz setzt wie die Mathematik, dieser Zustand eigentlich unhaltbar sein müsse. Bernays hat ihm darauf geantwortet, dass sich die Widersprüche mit der Zeit pragmatisch lösen würden. Seitdem sind mehr als 40 Jahre vergangen. Man kann Ihren Artikel aus meiner Sicht so verstehen, dass sich an der Situation seitdem nichts geändert hat. Dies führt aus intuitionistischer Sicht zu einer Schlussfolgerung eher entgegen der gängigen Intuition über die so genannte „reine“ Mathematik: Von der Metaebene aus gesehen ist zur Zeit fast alle Mathematik anwendungsbezogen und nicht grundlagenbezogen. Sie hat somit ihre Kulturabhängigkeit eher verstärkt als verringert.
In Beantwortung des Leserbriefes von Herrn Siemsen seien noch einige klärende Worte zum Intuitionismus angefügt.
Brouwers philosophische Voraussetzungen sind teils der Philosophie Kants entlehnt, teils der Strömung der Phänomenologie. Brouwer akzeptiert die Zeit als apriorische Anschauung, lehnt aber diese für den Raum ab. Seine fundamentale Intuition ist die Folge der zeitlichen Momente und das Durchlaufen von wohl unterschiedenen Einheiten, wie es beim Zählen geschieht. Die Mathematik wird von ihm und seiner Schule als Tätigkeit der introspektiven Konstruktion verstanden, die sich ohne Sprache und Symbole entwickelt. Sprache und Logik haben nur die Aufgabe der Registrierung für die Mitteilung der Resultate an die Mitwelt. Die intuitionistische Schule lehnt die klassische Logik ab, die nur für endliche konstruierte Mengen gültig sei, nicht aber für potentiell unendliche Mengen, und die aktual unendlichen Mengen werden als sinnlos und unkonstruierbar zurückgewiesen. Speziell wird das Prinzip, dass für jede Aussage A sie selbst oder ihre Verneinung gilt, zurückgewiesen, wenn es sich um unendliche Mengen, wie bereits bei den natürlichen Zahlen, handelt.
Obwohl die klassische Definition einer aussagenlogischen oder prädikatenlogischen Formel mit der intuitionistischen übereinstimmt, ist die Interpretation der Formeln und der logischen Konstanten völlig verschieden. Nach Heyting bedeutet die Behauptung einer Formel φ, daß man im Besitz eines Beweises für φ ist. Einen Beweis für (ψ⋀φ) hat man erbracht, wenn man sowohl einen Beweis für ψ als auch für φ vorgestellt hat. Seltsam ist die Deutung der Negation, ¬φ bedeutet so etwas wie "φ ist absurd". Man besitzt einen Beweis für ¬φ, wenn man, von einem Beweis von φ ausgehend, einen Widerspruch zeigen kann.
Fremdartig mutet auch die Deutung der Quantoren an. Eine Existenzaussage ∃x φ(x) heißt, dass man ein Objekt a konstruiert hat, für das φ(a) gilt, und ∀x φ(x) meint, dass man in der Lage ist, für jedes a den Beweis von φ(a) anzutreten. Im Logiksystem von Heyting lassen sich wichtige Ableitungsformen nicht durchführen, klassische Tautologien wie φ∨¬φ oder (¬¬φ⇒φ) sind in diesem System nicht ableitbar. Auch in der Quantorenlogik gibt es wichtige Formeln, die klassisch gültig sind, aber intuitionistisch nicht gelten, wie die eigentlich einleuchtende Beziehung (¬∀xφ(x)→∃x¬φ(x) ).
Die methodologisch entscheidende Frage ist nun, ob die philosophische Basis des Intuitionismus eine solche Restriktion des Ableitungsinstrumentariums rechtfertigt, womit die Beweisverfahren wesentlich erschwert werden. Der Intuitionismus verlor wesentlich an Anziehungskraft, als Gödel (Zum intuitionistischen Aussagenkalkül. Akad. Wiss. Wien Math.-nat. Kl. Bd. 69, S. 65-66, 1932) bewies, dass man die klassische Logik und Arithmetik in die intuitionistische übersetzen kann, so dass jede gültige klassische Formel auch intuitionistisch gültig ist und jeder Widerspruch der klassischen Theorie auch in der intuitionistischen wiederzufinden ist. Dieser relative Konsistenzbeweis bedeutet, dass die intuitionistische Logik und Arithmetik nicht sicherer ist als die klassische. Deshalb lohnt es sich nach der Meinung der Mehrzahl der Mathematiker nicht, so viel von der die Eleganz und Reichhaltigkeit der klassischen Mathematik zu opfern.
Bernulf Kanitscheider
Masanobu Fukuoka
05.06.2009, D. Heinzmann, ZürichSo neu sind solche Anwendungen also nicht, sondern bisher vor allem ignoriert worden. Wie auch der im Text erwähnte Bericht des IAASTD (International Assessment of Agricultural Knowledge, Science and Technology for Development). Diese Lösungen sind einfach sehr intelligent und einfach - und wieviel gibt es hier noch zu entdecken!
Die Idee Fukuokas basiert nicht auf der Frage, was kann man tun - sondern auf der Frage, was kann man unterlassen?
Und sicher ist, das Gentechnik an Pflanzen unterlassen werden kann, denn bis heute haben transgene Pflanzen keinen Nutzen erbracht. Was wirklich gefragt sein sollte, ist, wie man intelligente Agrikultur (Landwirtschaft) betreiben kann, welche die Komplexität der Natur zum Vorbild nimmt? Und das bedeutet viel mehr als abhängigkeitsfördernde (teure) Technologie!