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Wie auch von Hr. Bonney geschrieben hat es viel mit der visuellen und akustischen Wahrnehmung zu tun. Oftmals, davon gehe ich aus hilft auch eine Brille, das Problem der visuellen Wahrnehmung zu erhöhen. Es gibt Brillen, welche eine Winkelfehlsichtigkeit, welche bei 70% der Menschen auftritt beheben, woraufhin Kinder ihre "Anzeichen" von ADHS komplett verloren haben. Sehr zu empfehlen gilt hier ein Optiker in Bad Kreuznach in Rheinhessen, durch den ich es geschafft habe zum einen Rechtschreibschwächen und gewisse Anzeichen von "ADHS" in meiner Kindheit zu beheben und zu bewältigen.
Macht es wirklich Sinn, die Eismenge in km² anzugeben? Sinnvoller wäre doch das Volumen in km³ zu messen.
Stellungnahme der Redaktion
Sehr geehrter Herr Bontus,
in diesem Fall macht es tatsächlich mehr Sinn, die Fläche in Quadratkilometer anzugeben, da es ja um die flächige Ausdehnung des Meereises geht. Verglichen mit einem Gletscher ist es eher zweidimensional angelegt, da es normalerweise kaum dicker als zwei bis drei Meter wird (außer es wird von Wind und Strömungen zusammengeschoben). Eine Volumenangabe würde dementsprechend den drastischen Schwund des Meereises deutlich schlechter darstellen.
Zum anderen sind mit der Ausdehnung der Eisdecke auch wichtige ökologische und physikalische Eigenschaften verbunden, die sich wandeln wenn das Eis zurückgeht. Um das zu verdeutlichen: Nehmen wir einmal an, Wind und Strömungen hätten das nun verstärkt auftretende einjährige Eis massiv zusammengeschoben, ohne dass es gleichzeitig zu einem großen Schmelzverlust gekommen wäre. Das Eisvolumen wäre dadurch in geringerem Umfang zurückgegangen, aber dennoch eine riesige freie Wasserfläche entstanden - mit den gleichen Rückkopplungseffekten wie im Text beschrieben. Deshalb muss der Verlust beim Meereis in Quadratkilometer angegeben werden, während bei Gletschern oder Eisschilden Kubikkilometer die richtige Mengenangabe sind.
Die Eisdicke hat seit 1980 75% verloren, Tendenz steigend. In einigen hundert Wochen und nicht in hundert Jahren kann man sich eine eisfreie Arktis anschauen. z.B. hier: http://www.arctic.io/observations/ Der Vortrag von Dr. Francis lohnt sich übrigens auch im Original: http://www.youtube.com/watch?v=4spEuh8vswE
Das schöne am Wetter hier in Mitteleuropa ist eigentlich, dass - egal wie mies es ist - es zieht irgendwann weiter. Davon kann man sich ja dann wohl verabschieden.
Schöner Artikel, allerdings gab es 1969 (WHO, Indien) noch keine Gentechnik. Erste Klonierung wurde Fremd-DNA von Cohen et al., 1973 in PNAS publiziert. Vermutlich wurden die Mücken mit mutagenen Agenzien behandelt, was kein Verfahren ist, das per se genetisch veränderte Organismen erzeugt. Beides sollte nicht vermengt werden, zumal kein normaler Wissenschaftler versteht, warum die unkontrollierte Veränderung von Hunderten von Genen durch mutagene Agenzien bei Züchtungen "gut" und "biologisch" ist, die gezielte, kontrollierte Veränderung eines Gens aber "böse, böse Gentechnik".
Lesen wir den Artikel von Robert Gast doch einmal aus einem anderen Aspekt. Haben nicht vielleicht längst vergangene Generationen lang fortdauernde Gefahren für Leben gekennzeichnet? Etwa durch Pyramiden, Steinkreise oder 'Tempel'? Deren Bedeutung wir einfach nicht erkannt haben? Oder hat schon mal jemand (tief) unter Stonehenge, einer ägyptischen Pyramide oder einem Maya-Tempel gebuddelt? Ich erlaube mir, zu äußerster Vorsicht zu mahnen.
Entweder es existiert dann eine technische Zivilisation die an den Atommüll rankommt - dann werden die auch Geigerzähler haben und das Äquvalent des örtlichen Landratsamtes wird sich um das Problem kümmern müssen (neue Schilder in der dann aktuellen Sprache aufstellen).
Oder es gibt keine Zivilisation, dann ist es ohnehin unwahrscheinlich, dass irgendjemand die tiefgelegenen Lagerstätten anbuddeln kann. Und selbst wenn: Dann sterben halt potentiell 30-40 unserer Nachfahren und dann wird sich schon eine Legende von "verfluchtem Metall" oder ähnliches bilden.
Nichts worüber wir uns also den Kopf zerbrechen müssen.
unglaublich, dass man für die unmögliche lösung solcher scheinprobleme geld ausgibt - "eine warnvorrichtung ohne halbwertszeit" erdenken zu wollen, das ist wie die suche nach dem gral, wie die frage, wieviele engel auf einer nadelspitze platz haben.
unsere nachfahren werden das problem sehr einfach lösen müssen, nämlich durch versuch und irrtum. graben sie den mist aus, werden die ausgräber krank und sterben, und diejenigen, die das miterleben, werden aus ihren beobachtungen das passende lernen - solches gelingt sogar tieren.
ob menschen jedoch die nächsten 100.000 artlich überhaupt überleben werden, wäre im anblick des heutigen weltzustandes eine sehr viel wichtigere und realere frage ...
Anscheinend herrscht in manchen Kreisen die Meinung vor, daß unsere Nachfahren samt und sonders Idioten sind. Wenn die da schon buddeln, werden sie das nicht ohne Grund tun und erkennen, was sie da gefunden haben. Unter Umständen sind sie auch bedeutend intelligenter und vor Allem unaufgeregter als die heutigen Kopfzerbrecher über dieses Thema und wissen, daß in dem Zeug eine ganze Menge Wertvolles steckt, was sie gern hätten. Immerhin ist es schön, daß die Kopfzerbrecher sich wenigstens nur mit sinnfreien Fragen beschäftigen und nicht damit, wie man möglichst viele Zeitgenossen umbringen könnte.
Computer (und andere Maschinen) konnten vom ersten Tag an selbstständig "denken", leider meistens nicht, wie der Programmierer Mensch sich es vorgestellt hatte! Solche Computer wurden daher umgehend verschrottet oder umprogrammiert, denn sowohl beim Mensch wie beim Computer heißt "denken" auch Fehler machen oder eigene Ziele verfolgen können.
Ich frage mich, ob wir wirklich daran interessiert sind, eine "denkende" Maschine zu bauen.
wenn man sich mal mit gesundem Menschenverstand ansieht, was alles in unseren DNA-Strängen verdichtet an Informationen über unseren kompletten Organismus in jeder Zelle (!) gespeichert ist, kopiert, überschrieben und ausgelesen werden kann (der immerhin ein ausgespochen komplexes System beschreibt), ist die Entwicklung von organischen Speichermedien nichts anderes als konsequent.
Auch wenn es irgendwann möglich ist, Quantencomputer zu bauen (daran zweifle ich nicht eine Sekunde) bin ich der Meinung, dass sie auf organische Speichermedien zugreifen müssten, um optimale Effizienz zu erlangen da sie den anorganischen letztlich an Datendichte und Zugriffszeit überlegen sein werden - die Natur, der Kosmos - alles um uns herum und auch wir selbst als handelnde Individuen zeigt uns jeden Tag sehr deutlich auf, dass sich Informationen auf organische Weise extrem verdichten lassen.
Verdeutlicht man sich, dass in der augenblicklich verwendeten Computertechnik (die mir nebenher diesen Beitrag ermöglicht) lediglich die Zustände 1 (an) und 0 (aus), was quasi eine einzige Variable darstellt, für die Verarbeitung Verwendung finden wird man vielleicht gewahr, wie viele Möglichkeiten sich mit 4 Variablen ergeben, was auch die Computerindustrie nicht aus den Augen verlieren sollte.
Wie auch immer, der beste Lehrer des Menschen ist seine gesamte Umgebung
Hier kurz eine ergänzende Bemerkung zum Verhältnis Kugel zu Würfel:
Was "passt" besser: die (Hyper)kugel in den (Hyper)würfel, oder der (Hyper)würfel in die (Hyper)kugel? In der Ebene nimmt, wie im Artikel erwähnt, ein maximaler Kreis in einem Quadrat ca. 78,5 Prozent der Fläche des Quadrates ein. Ein
maximales Quadrat in einem Kreis hingegen füllt nur etwa 63,7 Prozent der Fläche des Kreises aus. Ähnlich die Situation in 3D, auch hier passt die Kugel mit 52,3 Prozent
des Würfelvolumens besser als der Würfel mit nur 36,8 Prozent des Kugelvolumens. Bis inklusive Dimension 8 passt die Hyperkugel besser, aber ab dem 9-dimensionalen
Raum passt plötzlich der Hyperwürfel besser in die Hyperkugel als umgekehrt. Der Wechsel findet hier bei gebrochener Dimension 8,13... statt und zeigt damit
ein ähnlich merkwürdiges Verhalten wie das Kugelvolumen selbst.
Obwohl ich als seit Jahren interessierter Laie daran gewöhnt bin, naturwissenschaftliche Tewxte zu lesen - leicht ist mir die Lektüre hier nicht gefallen, die Verfasser sind leider nicht in der Lage gewesen, ihre Thesen und Forschungsansätze verständlich herüberzubringen.
Immerhin ist mir klar geworden: beide sind bemüht - der eine mit digitalen Mitteln, der andere mit analogen -, eine Maschine zu generieren, die das Gehirn nachahmt (um es einmal banal auszudrücken).
Dabei gefällt mir einmal nicht, dass beide offenbar davon ausgehen, das Gehirn sei gewissermaßen einheitlich, bestehe also überall aus gleich aufgebautem Material - ich meine, schon die bisherige Hirnforschung hat diese Annahme widerlegt.
Zum andern fehlt mir (bezeichnet man die beiden Forschungsrichtungen als zwei Beine) das 'dritte Bein': Für entscheidend wichtig halte ich die evolutionäre Note, also die Überlegung, welche Zweckrichtung unseres Denkapparats bei den zahllosen Mutationen, die zu ihm im Lauf der langen Jahrhunderttausende geführt haben, als erfolgreich gewirkt hat. Hier sollte in Anbetracht des Umstands, dass die Hirnforschung bisher nur winzige Teile des Gehirns hat ausleuchten können, im Wege einer geeigneten (d. h. die wahrscheinlich zweckmäßigste Entwicklung beinhaltenden) Arbeitshypothese ein - vor-läufiges - Ziel gesetzt werden, was die Erforschung der Eigenschaften des Gehirns erleichtern könnte.
Dass das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel für n→∞ gegen null strebt, hat uns der Autor des Artikels mitgeteilt. Daraus folgt, dass auch der Begrenzungsraum (die "Oberfläche") der n-dimensionalen Einheitskugel gegen null strebt, wenn man die Anzahl der Dimensionen über alle Grenzen wachsen lässt.
Vor etwa 10 Jahren beschäftigte ich mich auch mit diesem Thema und kam zu ähnlichen Betrachtungen wie der Autor. Darüber hinaus addierte ich alle Begrenzungsräume der Einheitskugeln für alle geradzahligen n = 2, 4, 6, 8, ... , ∞.
Der Begrenzungsraum der Einheitskugel strebt für n→∞ gegen null. Für die unendliche Summe der Begrenzungsräume aller Einheitskugeln ergibt sich für n→∞ der Wert 2πeπ. Das ist vermutlich auch nur eine Zahlenspielerei. Für die ungeradzahligen Dimensionen ist mir die Addition nicht gelungen. Vielleicht gelingt das einem der Leser.
Vielen Dank für diesen Beitrag! Geschichte kann so viel mehr sein als das stumpfsinnige Auswendiglernen belangloser Jahreszahlen, wie ich es leider in der Schule praktizieren musste ...
Als Nichtmathematiker wage ich einen Kommentar zu dem Artikel, in der Hoffnung, vernünftige Gedanken zu Papier zu bringen.
In dem Artikel erscheint mir die Annahme, dass eine n-Kugel aus unendlich vielen (n-1)-Kugeln besteht, grundlegend falsch. Sie enthält zwar unendlich viele (n-1)-Kugeln, aber sie "besteht" nicht daraus. Am Beispiel der 3-Kugel: Sicher beinhaltet diese unendlich viele 2-Kugeln (Kreisflächen). Aber auch das Zusammensetzen unendlich vieler zweidimensionaler Flächen ergibt kein dreidimensionales Gebilde, wohl auch nicht im Integral. Wegen der grundlegenden Bedeutung der Planck-Länge führt es auch mathematisch in die Irre, die Scheibendicken gegen null gehen zu lassen.
Aus meiner Sicht besteht die 3-Kugel aus endlich vielen Scheiben (das sind dreidimensionale Gebilde) mit der Ausdehnung der Planck-Länge in alle drei Dimensionen. Damit lässt sich das Volumen dann exakt (?) berechnen.
Entsprechend bestünde dann eine n-Kugel aus endlich vielen n-Kugeln mit dem Durchmesser der Planck-Länge.
Dass diese n-Kugel auch unendlich viele (n-1)-Kugeln enthält, versteht sich. Aber wiederum führt die "Summe" der (n-1)-Kugeln nicht zur n-Kugel.
Stellungnahme der Redaktion
Das Problem stellt sich bereits bei einem gewöhnlichen Intervall auf der reellen Zahlengeraden, sagen wir der Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Dieses Intervall "besteht aus" allen reellen Zahlen zwischen 0 und 1 – so ist es definiert. Entsprechend besteht auch eine n-Kugel aus lauter (n–1)-Kugeln. (Da wir in einem abstrakten Raum sind, spielen Dinge aus der Realität wie die Planck-Länge hier keine Rolle.)
Aber: Wir können die Länge des Intervalls nicht bestimmen, indem wir die Länge aller seiner Punkte aufaddieren. Jeder Punkt hat nämlich die Länge 0, also käme auch für die Länge des Intervalls der absurde Wert 0 heraus. Man muss also für die Bestimmung der Intervalllänge ebenso wie für die Bestimmung des Kugelvolumens zu anderen Mitteln Zuflucht nehmen. Beim Intervall definiert man einfach "Die Länge des Intervalls [a, b] ist gleich b–a" und vergewissert sich, dass diese Definition vernünftig und widerspruchsfrei ist. Die Kugel zerlegt man in endlich viele Scheiben, bestimmt deren Volumen und addiert das auf. In dieser Formel lässt man die Anzahl der Scheiben gegen unendlich und dabei deren Dicke gegen null gehen und nennt den Grenzwert das Kugelvolumen. (Das wird dann üblicherweise mit dem Integralzeichen formuliert, was auf dasselbe hinausläuft.)
Beide Definitionen scheinen zunächst sehr willkürliche Setzungen zu sein. Erst bei näherer Betrachtung stellt sich heraus, dass sie erstens das leisten, was man von ihnen erwartet, und dass man es zweitens eigentlich nicht anders machen kann.
Visuelle Wahrnehmung
29.08.2012, David Keine AngabeEismenge
29.08.2012, ZukunftSehr geehrter Herr Bontus,
in diesem Fall macht es tatsächlich mehr Sinn, die Fläche in Quadratkilometer anzugeben, da es ja um die flächige Ausdehnung des Meereises geht. Verglichen mit einem Gletscher ist es eher zweidimensional angelegt, da es normalerweise kaum dicker als zwei bis drei Meter wird (außer es wird von Wind und Strömungen zusammengeschoben). Eine Volumenangabe würde dementsprechend den drastischen Schwund des Meereises deutlich schlechter darstellen.
Zum anderen sind mit der Ausdehnung der Eisdecke auch wichtige ökologische und physikalische Eigenschaften verbunden, die sich wandeln wenn das Eis zurückgeht. Um das zu verdeutlichen: Nehmen wir einmal an, Wind und Strömungen hätten das nun verstärkt auftretende einjährige Eis massiv zusammengeschoben, ohne dass es gleichzeitig zu einem großen Schmelzverlust gekommen wäre. Das Eisvolumen wäre dadurch in geringerem Umfang zurückgegangen, aber dennoch eine riesige freie Wasserfläche entstanden - mit den gleichen Rückkopplungseffekten wie im Text beschrieben. Deshalb muss der Verlust beim Meereis in Quadratkilometer angegeben werden, während bei Gletschern oder Eisschilden Kubikkilometer die richtige Mengenangabe sind.
Mit freundlichen Grüßen
Daniel Lingenhöhl
Redaktion Spektrum.de
Es wird knapp
27.08.2012, ArcticioDas schöne am Wetter hier in Mitteleuropa ist eigentlich, dass - egal wie mies es ist - es zieht irgendwann weiter. Davon kann man sich ja dann wohl verabschieden.
Gentechnik 1969?
24.08.2012, Prof. Dr. Dietrich H. Nies, HalleAtommülllager-Kennzeichnung
22.08.2012, Dr. rer. nat. Wolfgang LehmannAlles unnötig
22.08.2012, J. T.Oder es gibt keine Zivilisation, dann ist es ohnehin unwahrscheinlich, dass irgendjemand die tiefgelegenen Lagerstätten anbuddeln kann. Und selbst wenn: Dann sterben halt potentiell 30-40 unserer Nachfahren und dann wird sich schon eine Legende von "verfluchtem Metall" oder ähnliches bilden.
Nichts worüber wir uns also den Kopf zerbrechen müssen.
semiotik für die ewigkeit
22.08.2012, waldemar hammelunsere nachfahren werden das problem sehr einfach lösen müssen, nämlich durch versuch und irrtum. graben sie den mist aus, werden die ausgräber krank und sterben, und diejenigen, die das miterleben, werden aus ihren beobachtungen das passende lernen - solches gelingt sogar tieren.
ob menschen jedoch die nächsten 100.000 artlich überhaupt überleben werden, wäre im anblick des heutigen weltzustandes eine sehr viel wichtigere und realere frage ...
O je ...
22.08.2012, Fritz KronbergUm Computern das Denken beizubringen ....
21.08.2012, Debest, HochheimIch frage mich, ob wir wirklich daran interessiert sind, eine "denkende" Maschine zu bauen.
In die Zukunft gedacht
21.08.2012, ArnoAuch wenn es irgendwann möglich ist, Quantencomputer zu bauen (daran zweifle ich nicht eine Sekunde) bin ich der Meinung, dass sie auf organische Speichermedien zugreifen müssten, um optimale Effizienz zu erlangen da sie den anorganischen letztlich an Datendichte und Zugriffszeit überlegen sein werden - die Natur, der Kosmos - alles um uns herum und auch wir selbst als handelnde Individuen zeigt uns jeden Tag sehr deutlich auf, dass sich Informationen auf organische Weise extrem verdichten lassen.
Verdeutlicht man sich, dass in der augenblicklich verwendeten Computertechnik (die mir nebenher diesen Beitrag ermöglicht) lediglich die Zustände 1 (an) und 0 (aus), was quasi eine einzige Variable darstellt, für die Verarbeitung Verwendung finden wird man vielleicht gewahr, wie viele Möglichkeiten sich mit 4 Variablen ergeben, was auch die Computerindustrie nicht aus den Augen verlieren sollte.
Wie auch immer, der beste Lehrer des Menschen ist seine gesamte Umgebung
In diesem Sinne
Was 'passt' besser: die (Hyper)kugel in den (Hyper)würfel, oder umgekehrt?
20.08.2012, Oswin AichholzerWas "passt" besser: die (Hyper)kugel in den (Hyper)würfel, oder der (Hyper)würfel in die (Hyper)kugel? In der Ebene nimmt, wie im Artikel erwähnt, ein maximaler Kreis in einem Quadrat ca. 78,5 Prozent der Fläche des Quadrates ein. Ein
maximales Quadrat in einem Kreis hingegen füllt nur etwa 63,7 Prozent der Fläche des Kreises aus. Ähnlich die Situation in 3D, auch hier passt die Kugel mit 52,3 Prozent
des Würfelvolumens besser als der Würfel mit nur 36,8 Prozent des Kugelvolumens. Bis inklusive Dimension 8 passt die Hyperkugel besser, aber ab dem 9-dimensionalen
Raum passt plötzlich der Hyperwürfel besser in die Hyperkugel als umgekehrt. Der Wechsel findet hier bei gebrochener Dimension 8,13... statt und zeigt damit
ein ähnlich merkwürdiges Verhalten wie das Kugelvolumen selbst.
Das dritte Bein
20.08.2012, Walter Weiss, KasselImmerhin ist mir klar geworden: beide sind bemüht - der eine mit digitalen Mitteln, der andere mit analogen -, eine Maschine zu generieren, die das Gehirn nachahmt (um es einmal banal auszudrücken).
Dabei gefällt mir einmal nicht, dass beide offenbar davon ausgehen, das Gehirn sei gewissermaßen einheitlich, bestehe also überall aus gleich aufgebautem Material - ich meine, schon die bisherige Hirnforschung hat diese Annahme widerlegt.
Zum andern fehlt mir (bezeichnet man die beiden Forschungsrichtungen als zwei Beine) das 'dritte Bein': Für entscheidend wichtig halte ich die evolutionäre Note, also die Überlegung, welche Zweckrichtung unseres Denkapparats bei den zahllosen Mutationen, die zu ihm im Lauf der langen Jahrhunderttausende geführt haben, als erfolgreich gewirkt hat. Hier sollte in Anbetracht des Umstands, dass die Hirnforschung bisher nur winzige Teile des Gehirns hat ausleuchten können, im Wege einer geeigneten (d. h. die wahrscheinlich zweckmäßigste Entwicklung beinhaltenden) Arbeitshypothese ein - vor-läufiges - Ziel gesetzt werden, was die Erforschung der Eigenschaften des Gehirns erleichtern könnte.
Summe der Begrenzungsräume aller Einheitskugeln
19.08.2012, Eugen BauhofVor etwa 10 Jahren beschäftigte ich mich auch mit diesem Thema und kam zu ähnlichen Betrachtungen wie der Autor. Darüber hinaus addierte ich alle Begrenzungsräume der Einheitskugeln für alle geradzahligen n = 2, 4, 6, 8, ... , ∞.
Der Begrenzungsraum der Einheitskugel strebt für n→∞ gegen null. Für die unendliche Summe der Begrenzungsräume aller Einheitskugeln ergibt sich für n→∞ der Wert 2πeπ. Das ist vermutlich auch nur eine Zahlenspielerei. Für die ungeradzahligen Dimensionen ist mir die Addition nicht gelungen. Vielleicht gelingt das einem der Leser.
Geschichte lebendig
17.08.2012, Gero RupprechtDas Integral und die Planck-Länge
16.08.2012, Armin HirthIn dem Artikel erscheint mir die Annahme, dass eine n-Kugel aus unendlich vielen (n-1)-Kugeln besteht, grundlegend falsch. Sie enthält zwar unendlich viele (n-1)-Kugeln, aber sie "besteht" nicht daraus. Am Beispiel der 3-Kugel: Sicher beinhaltet diese unendlich viele 2-Kugeln (Kreisflächen). Aber auch das Zusammensetzen unendlich vieler zweidimensionaler Flächen ergibt kein dreidimensionales Gebilde, wohl auch nicht im Integral. Wegen der grundlegenden Bedeutung der Planck-Länge führt es auch mathematisch in die Irre, die Scheibendicken gegen null gehen zu lassen.
Aus meiner Sicht besteht die 3-Kugel aus endlich vielen Scheiben (das sind dreidimensionale Gebilde) mit der Ausdehnung der Planck-Länge in alle drei Dimensionen. Damit lässt sich das Volumen dann exakt (?) berechnen.
Entsprechend bestünde dann eine n-Kugel aus endlich vielen n-Kugeln mit dem Durchmesser der Planck-Länge.
Dass diese n-Kugel auch unendlich viele (n-1)-Kugeln enthält, versteht sich. Aber wiederum führt die "Summe" der (n-1)-Kugeln nicht zur n-Kugel.
Das Problem stellt sich bereits bei einem gewöhnlichen Intervall auf der reellen Zahlengeraden, sagen wir der Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Dieses Intervall "besteht aus" allen reellen Zahlen zwischen 0 und 1 – so ist es definiert. Entsprechend besteht auch eine n-Kugel aus lauter (n–1)-Kugeln. (Da wir in einem abstrakten Raum sind, spielen Dinge aus der Realität wie die Planck-Länge hier keine Rolle.)
Aber: Wir können die Länge des Intervalls nicht bestimmen, indem wir die Länge aller seiner Punkte aufaddieren. Jeder Punkt hat nämlich die Länge 0, also käme auch für die Länge des Intervalls der absurde Wert 0 heraus. Man muss also für die Bestimmung der Intervalllänge ebenso wie für die Bestimmung des Kugelvolumens zu anderen Mitteln Zuflucht nehmen. Beim Intervall definiert man einfach "Die Länge des Intervalls [a, b] ist gleich b–a" und vergewissert sich, dass diese Definition vernünftig und widerspruchsfrei ist. Die Kugel zerlegt man in endlich viele Scheiben, bestimmt deren Volumen und addiert das auf. In dieser Formel lässt man die Anzahl der Scheiben gegen unendlich und dabei deren Dicke gegen null gehen und nennt den Grenzwert das Kugelvolumen. (Das wird dann üblicherweise mit dem Integralzeichen formuliert, was auf dasselbe hinausläuft.)
Beide Definitionen scheinen zunächst sehr willkürliche Setzungen zu sein. Erst bei näherer Betrachtung stellt sich heraus, dass sie erstens das leisten, was man von ihnen erwartet, und dass man es zweitens eigentlich nicht anders machen kann.
Christoph Pöppe, Redaktion