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Wie problematisch die im Text angesprochene Rede von der Dichte der reellen Zahlen sein kann, zeigen übrigens auch Betrachtungen von Wittgenstein.

Mit der Mengenlehre geht Wittgenstein bekanntermaßen hart ins Gericht. Dies betrifft vor allem Cantors Konzept der reellen Zahlen und seinen zweiten Diagonalbeweis. Über diesen schreibt Wittgenstein:„Ich glaube und hoffe, eine künftige Generation wird über diesen Hokus Pokus lachen“ (vgl. Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik Teil II, Abschnitt 22). Gilt, so könnte man nun vielleicht fragen, Wittgensteins Kritik an Cantor der Geltung dieses Beweises oder „bloß“ seiner (verbal)sprachlichen Artikulation resp. Interpretation? Manches spricht dafür, dass es von einem Wittgensteinschen Standpunkt aus betrachtet gar keinen Sinn hat, diese Unterscheidung vorzunehmen, insofern es nicht sinnvoll ist zu fragen, ob ein Beweis gelungen ist, solange seine sprachliche Artikulation zu einer Unklarheit darüber führt, was der Beweis eigentlich beweist. Für Cantor und alle, die ihm folgen (inzwischen praktisch die ganze mathematische Zunft), steht fest: Der zweite Diagonalbeweis beweist, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar und in diesem Sinne „größer“ ist als die der natürlichen Zahlen.Wittgenstein hingegen entdeckt hier „schiefe Ausdrucksweisen“, hervorgerufen durch verkehrte Analogien. Dabei besteht für ihn das „Gefährliche, Täuschende“ an Redeweisen wie „Die Menge … ist nicht abzählbar“ darin, „dass sie das, was eine Begriffsbestimmung, Begriffsbildung ist, als eine Naturtatsache erscheinen lassen“ (ebd., 19). Der Begriff der Mächtigkeit wiederum täuschte einen Vergleich nach der Größe vor, der in Wahrheit gar nicht stattfindet (vgl. Kai Buchheister und Daniel Steuer: Wittgenstein, Stuttgart 1992, S.143). „Überabzählbarkeit“ erscheint somit als das Merkmal, mit dem der Begriff der reellen Zahl bestimmt wird und nicht als eine Eigenschaft reeller Zahlen, die durch den zweiten Diagonalbeweis entdeckt wird.

In der „Philosophischen Grammatik“ nun finden sich Bemerkungen, die diesen Befund Wittgensteins entsprechend mit Blick auf die Zahlengerade formulieren:
„‘Die rationalen Punkte’“, so heiß es dort, „‘liegen auf der Zahlengeraden nahe bei einander’: irreführendes Bild“ (Philosophische Grammatik, VII 40, Zur Mengenlehre). Mit Blick auf die irrationalen Zahlen (sie sind es innerhalb der Menge der reellen Zahlen, von denen diese ihr Charakteristikum der Überabzählbarkeit erhalten) heißt es folgerichtig: Sie „füllen keine Lücke aus, die die rationalen offen lassen. Man wundert sich darüber, dass `zwischen den überall dicht liegenden rationalen Punkten’ noch die irrationalen Platz haben. (Welche Verdummung).“ Dem schließlich entspricht, fragt Wittgenstein, in der Arithmetik etwa „eine Zahl, die sich doch noch zwischen die rationalen Zahlen hineinzwängt?“ (ebd.)

Was Wittgenstein hier kritisiert, ist also ganz allgemein die Rede von der Dichte der Zahlen (auf der Zahlengerade), d.h.: Schon mit Blick auf die rationalen Zahlen (und nicht erst die reellen bzw. irrationalen). Übrigens finden sich solche von Wittgenstein beanstandeten Redeweisen nach wie vor in der Literatur, geradezu exzessiv z.B. bei Fridtjof Toenniessen („Das Geheimnis der transzendenten Zahlen, Heidelberg 2010, S.94) “: „Die rationalen Zahlen, die […] unendlich dicht auf der Zahlengeraden liegen, sind in Wirklichkeit total spärlich und dünn gesät, es gibt unvorstellbar viel mehr irrationale Zahlen in den ‚Lücken’ dazwischen.“

Entscheidend schließlich ist m.E., dass nach Wittgenstein die erwähnten Bilder von der „Dichte“ wie auch die Ausdrücke „größer“, „gleich“ und „kleiner“ im Zusammenhang unendlicher Mengen keine Veranschaulichung mengentheoretischer Sachverhalte sind, sondern im Gegenteil irreführen und Ausdruck einer verkehrten Auffassung darüber sind, was der zweite Diagonalbeweis eigentlich leistet.

Sehen wir uns in jeder Spalte die Differenz zur nächsten Zeile an.
Dann haben wir folgende Matrix:

2 6 102 2 2
4 2 106 4 6
2 6 x 6 4

Addieren wir die Zahlen dieser Zeilen ohne die mittlere Zahl und vergleichen wir diese:

12 : 102
16 : 106
18 : y

108 passt gut in diese Reihe.

Eine weitere gesuchte Zahl ist dann:
1422 + 108 = 1530

Es gibt nur 20 mögliche Verläufe und nicht 32 !
AAA ist 1 Fall, danach wird aufgehört und nicht noch 2 Sätze gespielt, wodurch bei euch dieser 1 Fall 4x vorkommt. Analog für die anderen Fälle.
Korrekt ergeben sich 90 Sätze für 20 Fälle, damit also durchschnittlich 4,5
Gruss Oliver

Hallo klingt alles erstmal schlüssig und so kann man Urknall erklären. Und wie Materie entsteht. Was ist aber mit der Energie selbst. Wie ist die entstanden? Denn irgendwo her muß die ja kommen. Und da kommt für mich Gott in spiel der erschuf die Energie und dann lies er Dr natur freien Lauf. Zumindest bis man herausfindet wie energie entstehen kann. Was ja laut Gesetzen nicht möglich ist da Energie weder verloren noch hinzukommen kann.

Sehr geehrter Herr Freistetter,
erlauben Sie mir bitte die Fragen zur Schwingers Formel:
A.) In der Formel sehe ich eine Kugeloberfläche (4×(π^3) Quadratmeter, Radius=π) und eine geänderte Riemann Zetafunktion.
Wie hängen die beiden mathematischen Ergebnisse mit der spontanen Entstehung von Materie zusammen.
B.) In der Formel sehe ich die Gesamtenergie (m×(c^2)) von Elektron, die mit ihrem Impuls (mc) multipliziert ist. Was für eine physische Metrik ist das?
Wie hängt die mit der spontanen Entstehung der Materie zusammen?
C.) Ich sehe in der Formel die e-Zahl. Wie hängt die e als mathematisches Ergebnis mit der spontanen Entstehung der Materie zusammen?
Ich bin der Meinung:
Es müsse etwas mit Formel nicht stimmen.
Mein Grund Bedenken, dass die Elektron mit einer Oberfläche von etwa 124 Quadratmeter etwas zu tun hat.
MfG

Seit wann ist ein elektrisches Feld Nichts?
Welche Naturgesätze gibt es im elektrischen Feld?
Nach der Einstein Formel sind Energie und Masse identisch. Folglich müsse das elektrisches Feld Masse sein und gleich Energie. Also, wo ist das Nichts?
Die Formeln beschreiben quasi die wahrnehmbare Welt. Aber beantwortet die fundamentale Frage überhaupt nicht.

Der Schwinger-Effekt hat mit der Entstehung aus dem Nichts wenig zu tun, auch wenn es die plakative Einleitung Freistetters suggeriert - dafür muss es ja bereits Etwas geben, nämlich Raum und ein elektrisches Feld.

Die Makaken "haben Recht":
1.) Das Theorem kann probabilistisch nicht bewiesen werden. Der Zufall kann jede Zeit eine Folge S (SSSSSSS.....) erbringen.
2.) Eine Folge S gilt schon für Theorem als ein praktisches Beispiel.

Deutung zu Punkten:
1.) Die Wahrscheinlichkeit, zum Beispiel 1/52, gibt an, wie groß die Chance für das Ereignis eines Buchstaben. Aber die Wahrscheinlichkeit sagt nicht, dass das Ereignis, zum Beispiel S, hintereinander vielmals nicht passieren kann. Also das Ereignis im System kann die Wahrscheinlichkeit 1-(1/52) als günstige durch Zufall haben. Dies haben die Makaken tüchtig untermauert.

Was ist mathematisch ein Zufall überhaupt? Ich bin der Meinung:
Zufall ist ein ruhender/dynamischer System, der offen ist. Anschaulich zum Beispiel eine Gerade. In diesem Sinne liegt das Theorem falsch.
Um mit der Wahrscheinlichkeit rechnen zu können, man muss den Zufall zu einem Pseudozufall einschränken, der schon abgeschlossen ist. Anschaulich zum Beispiel eine Ellipse, die unendlich viel Erscheinungsform hat. Sie kann fast in ein Gerade oder in einen Punkt übergehen. In diesem Sinne liegt das Theorem richtig.

Die Schreibmaschine ist ein System eines Überlagerungszustandes von 52 Elementen. Die ist nach 52 periodisch. Kombinatorisch:
In einer Urne befindet sich 52 Kugeln. Sie werden hintereinander gezogen. Sind alle gezogen, werden sie in die Urne zurückgesetzt. Das Verfahren wird iteriert.
Für Banane braucht man sechs Perioden: 52^6
Die Banane befindet sich in der Fakultät 6!
Um die Banane zu erhalten, es sind (6!)×(52^6) Ziehungen theoretisch notwendig.
Praktisch haben die Pseudozufallsgeneratoren für 52 Elementen eine größere periodische Zahl. Damit brauchen sie viel mehr Ziehungen als die theoretische.

2.) Ich nehme hierzu die Folge der natürlichen Zahlen. Die Zahlen schreibe ich in einen Überlagerungszustand um:
1111111111111.............
Der Überlagerungszustand hat in sich jede Zahl n abzählbar unendlich vielmals.
Jede n vertritt zum Beispiel ein Wort, das im Überlagerungszustand abzählbar unendlich vielmals auftaucht.

Kodierung auf einen Symbol (zum Beispiel 1) hat den Vorteil. Derjenige kann nur lesen, der weiß, wo die leeren Tasten eingesetzt wurden.
Dies entspricht wohl dem zukünftigen Computer.

Der Beitrag ist verblüffend. Nach der angegebenen IMT Formel wird die Wahrscheinlichkeit immer größer, wie Sie schreiben:
"Je größer n wird, desto dichter rückt die Wahrscheinlichkeit, das Wort (zB. Banane) zu finden, an eins heran.
Meine Logik sagte:"Halt! Überlege mal! Da muss die Formel nicht korrekt sein, denn die Wahrscheinlichkeit dürfte nicht zu eins gehen."
Wo steckt der Fehler?:
Die Fakultät n! würde vergessen worden. Also die Wahrscheinlichkeit in Bezug auf die IMT Formel muss noch mit dem Wert 1/n! multipliziert werden.

Die Frage ist, warum die Fakultät nicht in Betracht gezogen wurde. Sei es ein Zufall? Oder mit Absicht?

zu "Wie müssen diese Zahlen auf die Felder verteilt werden?"
Hallo Herr Hemme,

anders als beschrieben gibt es hier 2 Lösungen:
Zeile 1: 2,6,7 oder 6,2,7
Zeile 2: 9,3,2 oder 3,9,2
Zeile 3: 4,5,4 oder 4,5,4

Vielen Dank für die immer wieder schönen Kopfnüsse
Mit freundlichen Grüßen,
Oliver Prott

Ich hab den Artikel nicht gelesen.
Irrationale, irrationalere, irrationalste.
Die Steigerung ist ein Blödsinn.
Nach der Konzept gäbe es wohl auch rationalste Zahlen.
Welche ist die rationalste???!!!
Dann gäbe es mal auch gänzeste Zahlen.
Welche ist die gänzeste???!!!

Anderes Getränk, aber universelles Prinzip: in der Türkei bekommt man Tee in kleinen, recht vollen Gläsern - die auf einem frei schwingenden Tablett gebracht werden. Das schützt auch sehr effektiv vor Verschütten, da der zusätzliche Freiheitsgrad verhindert, dass seitliche Kräfte auf die Tassen wirken. Ähnliche Tabletts werden auch als Tragehilfe für mobilitätseingeschränkte Personen angeboten.

Ich finde die Uhr als Symbol sehr passend, aber ich verstehe noch nicht wie die Uhr dann anders läuft, wenn man Alzheimer hat

Ich finde die Uhr als Symbol für den Schlafrythmus super, verstehe aber durch die Grafik noch nicht wie der Schlaf von Alzheimer Patienten betroffen ist

Nach der Summe der Summen hätte man zusätzlich auch noch fragen können, sie beträgt (n • (n + 1) : 2)^2, bei 100 Reihen also 25502500.