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Die Flächenberechnung lässt sich einfacher vornehmen. Indem man den Radius des kleinen mit dem großen Kreis konzentrischen Kreises gegen Null gehen lässt und anschließend, wie in ihrer Lösung, den mittelgroßen Halbkreis um 180 ° um den Mittelpunkt dreht, erhält man einen Halbkreis mit dem Radius zwei. Der hat dann die Fläche 1/2 π*4=2π
Vielen Dank für den sehr interessanten Beitrag! Im Minkowski-Vektorraum der der Speziellen Relativitätstheorie zerlegt man die Transformationen in eine Drehung und einen nachfolgenden "Boost" (Übergang in ein zu dem eigenen System bewegtes, aber nich gedrehtes System) - oder umgekehrt. Die Drehung lässt sich dabei mit trigonometrischen (sin, cos, ...) , der Boost mit hyperbolischen Funktionen (sinh, cosh,...) darstellen. Kann man für diese sog. Lorentz-Transformationen auch mit Hilfe der Quaternionen ebenfalls eine Vereinfachung erreichen, etwa indem man den Realteil nicht auf 0 setzt? Allerdings hätte man da nur 4 "Freiheitsgrade" statt der benötigten 6. Wenn überhaupt, dann müsste es wohl anders gehen.
Umgekehrt kommen Oktonionen (als Verallgemeinerung der Quaternionen) nicht in Frage, da sie noch nicht einmal assoziativ sind. Wenn man sich aber auch auf einen assoziativen Teilbereich mit 6 Freiheitsgraden beschränkt...???
PS.: Den Latex-Code kann man auch in Wikipedia umsetzen, indem man ihn in einschließt statt in \(...\)
Vielen Dank für den Beitrag! Im Studium haben wir die Definition i^2 = -1 verwendet. Definiert man i über die Wurzel aus -1, führt dies zu einem Widerspruch:
Ohne die gleichung zu kennen fällt mir ein klammerfehler auf: es gibt eine schliessende Klammer mehr - ich würde vermuten die öffnende gehört direkt hinter das =-zeichen. Außerdem würde ich erwarten dass es w*k und nicht w*z heisst.
In der Formel für die Rotation mit Quaternionen sind zwei bzw. drei kleine Fehler. Vorne fehlt die öffnende Klammer. Und sowohl im vorderen als auch im hinteren Faktor muß es ...+ wk) heißen statt ...+ wz).
Stellungnahme der Redaktion
Vielen Dank für die Anmerkung, ich habe das korrigiert.
Sehr schöner Beitrag, der mir endlich gezeigt hat wie Quarternionen funktionen.
Nur über dem letzten Bild ist der Latex-Code anstatt der entsprechenden Formel sichtbar.
Stellungnahme der Redaktion
Vielen Dank! Wenn LaTeX-Formeln nicht richtig dargestellt werden, kann das an Adblockern oder an älteren Browser-Versionen liegen. Viele Grüße
Ein Blogger hat die hier unkritisch wiedergegebene Behauptung Katrine Marçals unter de Lupe genommen (Link zum Artikel), es sei das weibliche Image der frühen Elektroautos gewesen und nicht die unzureichende Batterietechnik, die Anfang des 20sten Jahrhunderts deren Erfolg verhinderte.
Fazit dort: Diese Behauptung ist wahrscheinlich unzutreffend. Hoffentlich hat Frau Marçal den Rest ihres Buchs sorfältiger recherchiert. Ich denke, im Rahmen einer Rezension gerade bei Spektrum der Wissenschaft sollte man Autor*innen nicht alles einfach so abnehmen. Gerade die etwas spektakulären Behauptungen müssen meist mit Vorsicht geommen werden.
Interessanterweise ist das Ergebnis des PRODUKTS zweier Kubikzahlen, also von
2^3 MAL 6^3
(logischerweise gleich)
3^3 MAL 4^3
gleich
1728
Also die kleinste Zahl, "die auf zwei verschiedene Arten als PRODUKT von zwei Kubikzahlen darstellbar ist".
Knapp vorbei ...
Wesentlich leichter lässt sich das lösen durch Betrachten der Neunerrest. Der Neunerrest einer Zahl ist bekanntlich gleich (dem Neunerrest) der Quersumme, und der Neunerrest einer Summe ist gleich der Summe der Neunerreste (immer modulo 9 betrachtet). 2+2+1=5, und Summe von 1 bis 9 ist 45 (mit Neunerrest 0), also fehlt 4.
Beweis: Gäbe es langweilige natürliche Zahlen, so gäbe es auch eine Kleinste. Die kleinste langweilige Zahl wäre aber hochinteressant und daher nicht langweilig. QED
In Ihren netten Artikel hat sich wohl der Fehlerteufel eingeschlichen.
Die Zahl 1729 lässt sicht nicht als Summe zweier Dreierpotenzen darstellen.
Diese sind ja Zahlen der Form 3 hoch n. Eine Dreierpotenz ist damit ungerade und die Summe zweier solcher Dreierpotenzen muss gerade sein und ist also sicher nicht 1729.
Gemeint ist wohl, dass sich 1729 als Summe zweier Kubikzahlen, also Zahlen der Form n hoch 3, darstellen lässt.
In unserem Fall wären das 1729 = 10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3 .
Viele Grüße, Thomas Seibold
Stellungnahme der Redaktion
Danke für den Hinweis, die entsprechende Stelle im Artikel wurde korrigiert.
Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan (1887- 1920) hatte sich in seiner Jugend Mathematik selbst beigebracht. In seinem Nachlass befinden sich ca. 6000 Formeln ohne Beweis. Ramanujan hatte sie aufgeschrieben wie Eingebungen. Vermutlich hatte er ein unvorstellbar ausgeprägtes Gefühl für Zahlen. Eine seiner Formeln war
√(∛28-∛27) =1/3∙(∛98-∛28-1)
Heute können wir mit Hilfe eines Computer-Algebra-Systems (CAS) leicht nachweisen, dass die Aussage wahr ist.
Die Zahlen 28 und 98 weisen auch für einen Menschen mit weitaus weniger entwickeltem Zahlengefühl eine Besonderheit auf: 28=22·7 und 98=2·72. Auch die 27 und sogar die 3 haben eine gewisse Beziehung zur 28, nämlich 27=28-1 und 3=∛(28-1). All diese Auffälligkeiten veranlassen zu einem Experiment: Man setze a an die Stelle von 7. Dann wird aus Ramanujans Formel:
√(∛4a-(4a-1)/(a+2))=√(1/(a+2))∙|∛(2a^2 )-∛4a-1|
Man kann den Nachweis der Gültigkeit dieser Formel von einem Computer-Algebra-System unterstützen lassen. Zusätzlich ist es zweckmäßig, für einige Teilterme eine andere Schreibweise als das CAS zu wählen. Danach ist für jede positive Zahl a eine Ramanujan-Formel gefunden. Zum Beispiel wird für a=10 und etwas Termumformung diese Formel gefunden:
√(8∙∛5-13)=1/√3∙(2∙∛25-2∙∛5-1)
Frau Bischoff schreibt:
Der Wert 20 067 scheint also recht langweilig. Doch das kann sich ändern. Vielleicht erscheint schon während des Schreiben dieses Artikels eine neue Folge, in der 20 067 in den ersten Folgengliedern auftaucht.
Ja! Die Folge der Mittelwerte je zweier aufeinanderfolgender Primzahlen
Hemnes math. Rätsel vom 22.2.23
22.02.2023, Juliane Beliczey-KruseVerallgemeinerung möglich?
21.02.2023, Ernst SauerweinUmgekehrt kommen Oktonionen (als Verallgemeinerung der Quaternionen) nicht in Frage, da sie noch nicht einmal assoziativ sind. Wenn man sich aber auch auf einen assoziativen Teilbereich mit 6 Freiheitsgraden beschränkt...???
PS.: Den Latex-Code kann man auch in Wikipedia umsetzen, indem man ihn in einschließt statt in \(...\)
sqrt(-1) = i vs i^2 = -1
20.02.2023, Marcus-1 = i^2 = sqrt(-1) * sqrt(-1) = sqrt(-1*-1) = sqrt(1) = 1
Viele Grüße
Wurzeln darf man nur zusammenziehen, wenn die Radikanten positiv sind. Diese Rechenregel gilt nicht für imaginäre Zahlen.
Gleichung korrekt ?
18.02.2023, JanFormel für Rotation mit Quaternionen
18.02.2023, Thomas SchirmerVielen Dank für die Anmerkung, ich habe das korrigiert.
Latex code anstatt Formel sichtbar
17.02.2023, OliNur über dem letzten Bild ist der Latex-Code anstatt der entsprechenden Formel sichtbar.
Vielen Dank! Wenn LaTeX-Formeln nicht richtig dargestellt werden, kann das an Adblockern oder an älteren Browser-Versionen liegen. Viele Grüße
Frühe Elektroautos waren zu "weiblich" ... im Ernst jetzt?
17.02.2023, Gerald WiegmannFazit dort: Diese Behauptung ist wahrscheinlich unzutreffend. Hoffentlich hat Frau Marçal den Rest ihres Buchs sorfältiger recherchiert. Ich denke, im Rahmen einer Rezension gerade bei Spektrum der Wissenschaft sollte man Autor*innen nicht alles einfach so abnehmen. Gerade die etwas spektakulären Behauptungen müssen meist mit Vorsicht geommen werden.
Ramanujans Behauptung
17.02.2023, Andreas2^3 MAL 6^3
(logischerweise gleich)
3^3 MAL 4^3
gleich
1728
Also die kleinste Zahl, "die auf zwei verschiedene Arten als PRODUKT von zwei Kubikzahlen darstellbar ist".
Knapp vorbei ...
Neunerreste
16.02.2023, Norbert PfannererUnsinn: es gibt keine langweiligen natürlichen Zahlen
16.02.2023, AndreasBeweis: Gäbe es langweilige natürliche Zahlen, so gäbe es auch eine Kleinste. Die kleinste langweilige Zahl wäre aber hochinteressant und daher nicht langweilig. QED
Ramanujans Behauptung: Dreierpotenz versus Kubikzahl
16.02.2023, Thomas SeiboldDie Zahl 1729 lässt sicht nicht als Summe zweier Dreierpotenzen darstellen.
Diese sind ja Zahlen der Form 3 hoch n. Eine Dreierpotenz ist damit ungerade und die Summe zweier solcher Dreierpotenzen muss gerade sein und ist also sicher nicht 1729.
Gemeint ist wohl, dass sich 1729 als Summe zweier Kubikzahlen, also Zahlen der Form n hoch 3, darstellen lässt.
In unserem Fall wären das 1729 = 10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3 .
Viele Grüße, Thomas Seibold
Danke für den Hinweis, die entsprechende Stelle im Artikel wurde korrigiert.
Ramanujans Formeln
13.02.2023, Roland Schröder√(∛28-∛27) =1/3∙(∛98-∛28-1)
Heute können wir mit Hilfe eines Computer-Algebra-Systems (CAS) leicht nachweisen, dass die Aussage wahr ist.
Die Zahlen 28 und 98 weisen auch für einen Menschen mit weitaus weniger entwickeltem Zahlengefühl eine Besonderheit auf: 28=22·7 und 98=2·72. Auch die 27 und sogar die 3 haben eine gewisse Beziehung zur 28, nämlich 27=28-1 und 3=∛(28-1). All diese Auffälligkeiten veranlassen zu einem Experiment: Man setze a an die Stelle von 7. Dann wird aus Ramanujans Formel:
√(∛4a-(4a-1)/(a+2))=√(1/(a+2))∙|∛(2a^2 )-∛4a-1|
Man kann den Nachweis der Gültigkeit dieser Formel von einem Computer-Algebra-System unterstützen lassen. Zusätzlich ist es zweckmäßig, für einige Teilterme eine andere Schreibweise als das CAS zu wählen. Danach ist für jede positive Zahl a eine Ramanujan-Formel gefunden. Zum Beispiel wird für a=10 und etwas Termumformung diese Formel gefunden:
√(8∙∛5-13)=1/√3∙(2∙∛25-2∙∛5-1)
Zu Landau
13.02.2023, StechowLangweilige Zahlen
13.02.2023, Roland SchröderDer Wert 20 067 scheint also recht langweilig. Doch das kann sich ändern. Vielleicht erscheint schon während des Schreiben dieses Artikels eine neue Folge, in der 20 067 in den ersten Folgengliedern auftaucht.
Ja! Die Folge der Mittelwerte je zweier aufeinanderfolgender Primzahlen
Primzahlen
13.02.2023, Hartmut Haas-Hyronimusprim=0
a=0
function zaehle(){
a++
prim=1
fin=Math.floor(Math.sqrt(a))+1
for(b=2;b
if(qu==parseInt(qu)){prim=0;b=fin;}
}
if(prim==1)document.write(a + " ")
}
Wird auch nur ein Treffer erzielt, ist die Annahme Landaus falsch.